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子基

数学术语

子基是与拓扑有关的概念。设(X,T)为拓扑空间，S⊂T，若S的元的所有有限交的族为T的基，则称S为拓扑空间(X，T)的子基或拓扑S的子基，每一个非空集族S必是X=∪S上的某个拓扑的子基，并且该拓扑由S惟一确定，它是包含S的最小拓扑，一个拓扑可以有不同的子基，但子基确定惟一的拓扑。

定义
设是拓扑空间，。若为的所有包含的拓扑的交，则称是拓扑的子基，中的元素称为子基开集。
等价定义为
设是拓扑空间，，若中元素的一切有限交之族是集合X上的拓扑的基，则称是拓扑的子基，中的元素称为子基开集。
相关概念
拓扑基
设 是拓扑空间，，若的元素都可表示为中某些元素的并，即对于，存在使得，则称是拓扑的基或拓扑基，也称为拓扑空间的基或拓扑基，中的元素称为基开集。
邻域基
设(X,τ)是拓扑空间，τ‘为X中一点x的开邻域族。若给定包含x的任一开集U，τ‘中均存在开邻域V⊆U，则称τ‘为邻域基。
例子
例1 设 是任意拓扑空间，则就是它的基。
例2 设X是非空集，记
则是集合X上的离散拓扑的基。
相关定理
定理1
设 是拓扑空间， ,则 是拓扑 的基的充分必要条件是对于任意 ，任意 ，存在 ，使得 。
证明： 必要性：对于 ，因为 是 的基，从而
其中 ，所以对于任意 ，存在 ，使得
充分性：任取 ，若 ，则取 ，从而 ，若 ，则对于任意 ，存在 使得
于是 ，记 ，因此 ，又 ，所以 是 的基。
定理2
设 是非空集X的一个子集族，则 是集合X 上的某一拓扑的基的充分必要条件是 满足下列条件
(1) ；
(2)对于任意 是 中某些元素的并。
若 满足上述两个条件，则集合X上以 为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以 为基生成的集合X上的拓扑。
定理3
设X为非空集， ，并且 ，则集合X上存在唯一拓扑以 为子基，这个拓扑称为以 为子基生成的集合X上的拓扑。
证明 记
={B B是 中有限个元素的交}.
因为 ，从而 ，又对于 中任意两个元素的交是 中元素的有限交，可见 的任意两个元素的交属于 ，于是这个交是 中元素的并。因此，从定理2中条件的充分性可知，集合X上有拓扑 以 为它的基，所以 是此拓扑 的子基，若 *是以 为子基的集合X上的另一拓扑，则根据子基定义， *是以为基，所以，由定理2可知 *=。
例3 设 ，则以 为子基生成的集合X上的拓扑是
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