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子空间迭代法

力学术语

子空间迭代法也称同时迭代法，它是乘幂法的直接推广，能同时求出模较大的一些特征值和相应的特征向量。与乘幂法的区别主要在两个方面：第一，同时迭代法是同时用几个（例如p个）线性无关的正交规范向量进行类似于乘幂法的迭代。若将选代向量看作一个p维子空间的（正交规范）基，则每迭代一次就得到一个新的子空间.第二，在迭代过程中应用Rayleigh-Ritz原理进行加速。因此，同时迭代法比乘幂法更便于进行自动计算，而且加快了收敛速度，它是求解大型、稀疏矩阵特征值问题的最有效的方法之一。

概念
对于大型特征值问题，要求其全部特征值是非常困难的，一般情况下也无必要。如大型结构，其动力自由度可能成千上万，往往只需要前10~20阶自由振动频率，这时候就可用子空间迭代法。实践证明，子空间迭代法是求解大型特征值问题前几阶特征值最有效的方法之一。子空间迭代法的基本思想是逆迭代法和瑞利一里兹法（Rayleigh-Ritz)的结合。
子空间迭代法也称同时迭代法，它是乘幂法的直接推广，能同时求出模较大的一些特征值和相应的特征向量。与乘幂法的区别主要在两个方面：第一，同时迭代法是同时用几个（例如p个）线性无关的正交规范向量进行类似于乘幂法的迭代。若将选代向量看作一个p维子空间的（正交规范）基，则每迭代一次就得到一个新的子空间.第二，在迭代过程中应用Rayleigh-Ritz原理进行加速。因此，同时迭代法比乘幂法更便于进行自动计算，而且加快了收敛速度，它是求解大型、稀疏矩阵特征值问题的最有效的方法之一。
基本原理
瑞利商
对于广义特征值问题
定义任一矢量的瑞利商如下：
瑞利商具有如下性质：
① ；
②当 取特征矢量 时，瑞利商达到驻值，这个驻值就是对应的特征值 。
证明：①将 用特征向量 展开，即
将上式代入 式子中，并考虑特征向量的正交性，有
由于 ，所以
②将 式子对 求导，得
取驻值时， ，即
比较上式和 式子可知，当 时， 取驻值，这个驻值就是 。
瑞利一里兹法
用瑞利一里兹法，可以将 阶广义特征值问题降为一个 阶 广义特征值问题来求解。记 、 、 、 构成的空间为 ， 、 、 、 构成的空间为 ， 是全部特征矢量空间 的一个子空间。任取一组线性无关的矢量 、 、 、 ，如果 是子空间 的一个基底，则 内的任一矢量 都可由 的线形组合表示：
即：
其中 ； 。
将 代入 式子中，得：
其中 、 称为 、 在子空间 内的投影，即：
由于
所以，广义特征值问题的前个特征值、、、、（式子的前个驻值），就是的个驻值。
通过对式子取的驻值，即，得到与式子等价的广义特征值问题：
这样，就将阶广义特征值问题转化为阶广义特征值问题，减小了问题的规模。
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