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孤立奇点

数学术语

孤立奇点，数学术语，若f(z)在z0不解析，但在z0的某一去心邻域0<|z-z0|<δ内解析，则称z0是f(z)的孤立奇点，根据其洛朗级数的情况，可将其分为可去奇点、(m级)极点和本性奇点。

定义
若 在 不解析，但在 的某一去心邻域 内解析，则称 是 的孤立奇点。
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点。
设为的孤立奇点，在的去心邻域内，的洛朗级数为：
根据展开式的不同情况将孤立奇点分为：
（1）可去奇点
（2）(m级)极点
（3）本性奇点
可去奇点
设为的孤立奇点，在的去心邻域内，的洛朗级数为：
若无负幂项，，则为的可去奇点。
例如，函数在处不解析，它的洛朗展开式为：
展开式中并不含负幂项，那么 称为可去奇点。
极点
设为的孤立奇点，在的去心邻域内，的洛朗级数为：
若的负幂项只有m项，即
，其中，
由于在的去心邻域内解析，故，则为的(m极)极点
例如， ， 是它的一个3级极点。
本性奇点
设为的孤立奇点，在的去心邻域内，的洛朗级数为：
若的负幂项有无穷多项，不存在，也不是，则称为的本性奇点。
例如，函数， 是的本性奇点。
分类判别规则
设为的孤立奇点，根据 时的极限分类：
（1）可去奇点 存在且有界
（2）极点
（3）本性奇点不存在，且不为
无穷远处
设函数 在无穷远点 的去心邻域 内解析，其洛朗级数为：，令 ，则在 的去心邻域 内解析，的洛朗级数为，则如图1
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