完全可约表示

可完全分解为不可约表示的表示

完全可约表示(completely reducible representation)是指可完全分解为不可约表示的一种表示。设ρ：G→GL(V)是G的一种表示，若V=V1⊕…⊕Vm使每个Vi均为ρ(G)不变子空间且Vi对应G的不可约表示，则称ρ为完全可约表示。

基本介绍

从群的高维表示得到低维表示的过程，称为表示的约化(reduction of representation)。但不是任何表示都可以约化，只有当表示空间可以分解出这样的子空间，在其上也可建立群的同态映射，给出群的表示时，表示才可约化。通常把这样的子空间称为不变子空间(invariant subspace)。如果某一个表示空间至少有一个不变子空间(除表示空间本身和零空间外)，则群在这个表示空间上的表示是可约的，称为可约表示(reducible representation)。这时，表示矩阵的形式可以写为：

式中为群在那个不变子空间中的表示矩阵。注意，在上述定义中并不要求和对应的子空间是不变子空间，也就是说，在上式中不要求。如果一个群有一个不变子空间，而它的补空间不是不变子空间(相当于上式中)，则称这个表示为可约的但不完全可约。反之，如果一个表示空间可以分解为若干个不变子空间的直和，则称这一表示为完全可约表示(fully reducible representation)。完全可约表示的矩阵一般地可以写为：

也就是说，表示矩阵可以写为在各个不变子空间上的表示矩阵的直和。另一种情况是，一个表示空间除表示空间本身和零空间外，没有任何一个不变子空间，这种表示称为不可约表示。

相关结论

一个完全可约表示可以分解成若干个不可约表示的直和，这样，关于群表示的研究就归结为对较简单的不可约表示的研究。因此，在群论里，表示的约化是一个重要课题。在粒子物理中，系统的对称性群在希尔伯特空间，上表示的约化，就相应于把粒子的状态分为若干多重态，而每一个多重态用一个相应的不可约表示描述，因而表示的约化是按对称性对粒子进行分类的有效工具。

因为可约表示是由不可约表示组成，所以在给定一个群时，我们要知道有哪些不等价不可约表示。在群论中证明了下面的定理。

定理群的不等价不可约表示数等于群所含的类数。令第个不可约表示的维数为，则有

这里为群的价。

群表示论

群表示论(group representationtheory)是用具体的线性群(矩阵群) 来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。

早在1854年，英国数学家凯莱就指出，任何有限抽象群都能用一个置换群来表示。若尔当在1878年首创置换群的线性变换表示，即把置换群用形如

的线性变换来表示。他的工作在19世纪末至20世纪初由弗罗贝尼乌斯和伯恩塞德等人推广到一切有限抽象群的表示之中。

弗罗贝尼乌斯对有限群引进了可约和完全可约表示的概念，而且证明了一个正则表示(正则表示的概念由美国数学家C.S.皮尔斯在1879年引进) 包含所有不可约表示。他在1897-1910年间还证明了许多其他结果。例如，仅存在少数几个不可约表示，其他所有表示都是由它们合成的。他的工作被德国数学家舒尔所改进。伯恩塞德在20世纪初独立地开创了群表示论的工作。他在1905年给出了一个群可约时，其n个变量的线性变换群的系数所应满足的一个充要条件，有限群的表示理论已经引出了抽象群的一系列重要定理。在20世纪上半叶，群表示理论已经推广到连续群。

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