完全格

数学术语

“格”一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。在数学中，完全格是在其中所有子集都有上确界(并)和下确界(交)的偏序集。完全格出现于数学和计算机科学的很多应用中。作为格的特殊实例，在次序论和泛代数中都有所研究。

概念

在数学中，完全格是在其中所有子集都有上确界(并)和下确界(交)的偏序集。完全格出现于数学和计算机科学的很多应用中。作为格的特殊实例，在次序论和泛代数中都有所研究。

完全格一定不能混淆于完全偏序(cpo)，它构成严格的更加一般的一个偏序集合类别。更特殊的完全格是完全布尔代数和完全Heyting代数(locale)。

格

“格”一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。

例如，一组实数间的大小顺序；一个集合的诸子集（或某些子集）间按（被包含）所成的顺序；一组命题间按蕴涵所成的顺序；等等。这种顺序一般不是全序，即不是任意二元素间都能排列顺序，而是在部分元素间的一种顺序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。

格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及概率论等许多数学分支中都有应用。例如，在代数学中，对于一个群G与其子群格（G）之间关系的研究。在数理逻辑中，关于不可解度的研究。

格的定义：设（L，≤）是偏序集，若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界，则称（L，≤）是格（lattice），为了方便，这样的格成为偏序格。

格偏序格.

子集在L中有上确界和下确界的偏序集，就是格。

h代数格在L定义二元运算*和·

(1) 交换律 a*b=b*a，a·b=b·a

(2)结合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)

(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a

则称(L，*，·)是代数格.

用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的运算。

h对偶式由1，0，和可以代表格中的任意元素的变量通过+，×运算连结起来的式子，就是格中的表达式，记作f。将f中的0换成1，1换成0，+换成×，×换成+所得的表达式，就是表达式f的对偶式记作f。h

h对偶原理若f为真，则f为真。

偏序集

偏序集是特定的集。它是一类主要的序关系集。具体地说，集合E连同其上的偏序R构成的关系集(E，R)，一般记为P=(E，≤).所谓偏序(或序关系)是一类具有自反性、反对称性和传递性的二元关系。例如，数之间的不大于关系，自然数之间的整除关系，集合之间的包容关系等。把集合E的基数称为偏序集P的阶。阶为有限值的偏序集称为有限偏序集。而在P上，对于任意元素x，y，区间[x，y]均为有限偏序集时，称P为局部有限偏序集。这两类偏序集是组合理论中的主要研究对象.偏序集上所有链的长度的最小上界，或上确界，称为偏序集的长度，记为l(P).偏序集中最大反链包含的元素数目，称为偏序集的宽度，记w(p).对于哈塞图的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2。偏序集的子关系集仍为偏序集，而且必有全序集作为其子关系集。

设A是一个集合，若在A内存在一个关系“≤”，它满足：

①反身性对于任何a∈A，有a≤a；

②反对称性对于a，b∈A，若a≤b，且b≤a，则a=b；

③传递性对于a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，则a≤c。

则称“≤”是集合A的一个偏序关系，也称作半有序关系。

如果a≤b，就叫做a不在b的后面，或b不在a的前面。

在一个集合A内，如果建立了一个偏序关系≤，就称集合A对于关系≤成为一个偏序集，也称作半有序集。记作(A，≤)。

由上述定义可知，偏序集就是一个集合A加上一个偏序关系≤。

例如，实数集R对于关系“≤”构成偏序集(R，≤)。

再如，设I是一个全集，幂集P(I)对于关系“⊂”是一个偏序关系，(P(I)，⊂)是一个偏序集。值得注意的是，当A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ时，A⊂B和B⊂A都不成立，但这不要紧，因为定义中不要求对于A中的任意两个元素a和b，a≤b或b≤a必有一个成立，这就是说，它只要求这种顺序关系≤在部分元素中成立。

应用领域——泛代数

泛代数是代数学的一个分支学科。泛代数是在群、环、域、格等代数系统研究的基础上进一步抽象得以发展起来的一般代数系统。一个泛代数U是一个二元组〈A，F〉，其中A是一个非空集合，称A为U的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定义于A上的运算集合(F可能是有限集，也可能是无限集)。对于泛代数可以仿照群、环、域中的方式定义子代数、同态、同构概念等。

早在1898年，怀特海(Whitehead，A.N.)就意识到要研究泛代数。但直到20世纪30年代伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的论文发表以前，泛代数的研究没有什么发展。这和当时近世代数的大部分分支没有得到充分的发展有关。从1935年到1950年，泛代数的大部分研究成果是按伯克霍夫的文章的方向进行的，即，研究自由代数、同态定理、同构定理、合同关系格、子代数格等。

由于数理逻辑的发展，为泛代数的研究提供了一个新的工具，特别是哥德尔完全性定理、塔尔斯基可满足性概念、紧致性定理等，使人们意识到逻辑在代数中应用的可能性。马尔茨夫(Malcev)于1941年发表了这方面的第一篇论文，由于战争，他的论文没有引起人们的注意.后来，塔尔斯基(Tarski，A.)、亨金(Henkin，L.)和鲁宾孙(Robinson，A.)开始这方面的研究工作。

利用模型论(数理逻辑的一个分支)研究泛代数的主要代表人物有塔尔斯基、亨金、查尔各(Charg，C.C.)、琼森(Jonsson，B.)、凯斯勒尔(Keisler，H.J.)、林敦(Lyndon，R.C.)、墨尔洛各(Morlog，H.)、斯科特(Scott，D.S.)、沃特(Varght，R.L.)等人.当然，泛代数的结果也可应用于模型论的研究。

泛代数除了在数学本身的研究中有广泛应用外，对计算机语言和语义理论的研究也有越来越大的作用。

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