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定态微扰论

量子力学术语

对于大量的实际物理问题，Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。

简介
对于大量的实际物理问题，Schrodinger方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。
近似方法的出发点：近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。常用的近似方法有微扰论、变分法等等
量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解，这样近似方法在量子力学中就显得十分重要。
微扰论是各种近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部分。和变分法配合使用可以得出精确度较高的结果。
定态微扰理论
求解定态薛定谔方程
时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分：
其中 ：
（1）的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果
（2）很小，称为加在上的微扰，有时为了表达这种微扰的程度，常引入一个很小参数，将微扰写成
下面以分离谱为例，分两种情况进行讨论。
非简并态微扰论
微扰对非简并态的影响
非简并态是指的每一个本征值只有一个本征函数与之对应，当加上微扰时，，所以，，即微扰的出现是能级和波函数发生变化。
微扰的基本思想
微扰的基本思想就是以逐步近似的精神求解薛定谔方程。当
时，受微扰后的能级和波函数以的幂级数展开：
与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、…
把（4）、（5）式代入薛定谔方程（1）中，得到以的幂次区分的一系列方程：
求解以上方程便可得能量和波函数的一级修正、二级修正、…
各级修正公式
零级近似：由（6）式可得零级近似即为与。
一级修正：首先将用展开：
代表求和项中不包含l=n项，这是因为附加在上仍是（6）式的解。代入（7）式，然后将上式两边同乘以并对空间积分，注意l≠n及的正交归一性，得能量的一级修正为
能量的一级修正等于在态（零级近似）下的平均值。
同理得到波函数的一级修正为
说明
①用微扰矩阵元求时，要“对号入座”；
②要充分利用H'对称性，以减少计算量 ；
③在有些问题中，，这时有必要计算能量的二级修正值；若，一级修正已够用。至于，一般求和项不可能全为零，故，一级修正即可。
微扰论的适用范围
一是要求微扰本身应很小；
二是要求能级间隔较大，二者是相对的。
简并态微扰论
简并态下，微扰的作用可能使能级发生分裂，即微扰可使简并消除或部分消除
零级近似
设的某个能级是k度简并的
当微扰加入后，薛定谔方程变为
即便只考虑零级近似，波函数也不一定是原来的，而可能是那些简并本征态的线性组合，这同非简并态不同，确定零级近似波函数是非常重要的一步。
能量的一级修正
简并情况下能级的一级近似为：
若k个根各不相等，则简并能级分裂成k个，简并完全消除；
若的k个根中仍有重根，则简并只是部分消除。
零级近似波函数
从久期方程解出后，把每一个分别代入，解出（一般只能解出之间的比例，要归一化后才能确定），即可得到与相对应的零级近似波函数。对应于k个不等的，这样的方程组要解k个。
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