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密克定理

数学术语

密克定理是几何学中关于相交圆的定理。1838年，奥古斯特·密克（Auguste Miquel）叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。密克的第一条定理，是十八世纪已有的著名经典结果。

定义
密克定理是几何学中关于相交圆的定理。1838年，奥古斯特·密克（Auguste Miquel）叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。
定理：设在一个三角形的每一边上取一点，过三角形的每一顶点与两条邻边上所取的点作圆，则这三个圆共点。利用圆周角性质易证此定理。
定理陈述
三圆定理
设三个圆C1,C2,C3交于一点O，而M,N,P分别是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B,N,C这三点共线。（注意：M,N,P并不共线）
证明思路：
1、圆C2和C3用圆幂定理，再套到C1里，化简得梅涅劳斯等式。
2、连几条线，三个四点共圆导角得到三点共线（三圆共点的条件可以转换成三条公共弦的三线共点）。
3、先画两个圆，假设点N是BC延长线与圆C2的交点，再导角证明OCNP共圆。
逆定理：如果是三角形，M,N,P三点分别在边AB,BC,CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN的外接圆交于一点O。
完全四线形定理
如果ABCDEF是完全四边形，那么三角形的外接圆交于一点 O，称为密克点。
四圆
设C1,C2,C3,C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,B3,B4四点共圆。
五圆定理
设AB为任意五边形，五点F,G,H,I,J分别是EA和BC,AB和CD,BC和DE,CD和EA,DE和AB的交点，那么三角形的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，不穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。
发展简史
1838年奥古斯特·密克在约瑟夫·刘维尔的期刊《Journal de mathématiques pures et appliquées》（纯粹与应用数学杂志）发表了这定理的一部份。
密克的第一条定理，是十八世纪已有的著名经典结果，以圆周角定理证明。
完全四线形四圆的交点称为密克点，但这性质雅各布·施泰纳在1828年已经知道，威廉·华莱士也已经知道。
五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由威廉·金登·克利福德提出及证明。2000年12月20日，江泽民主席出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题，令问题重新引起广泛兴趣。阿兰·科纳在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。
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