密封拍卖

拍卖的一种类型

密封拍卖（Sealed-bid Auction），是一种常见的拍卖类型，具体是指所有竞拍者同时通过密封投标的方式竞价，没有人知道其他人的出价，且出价最高的竞拍者获得拍品。在没有特别说明的情况下，密封拍卖一般指第一价格密封拍卖。

广义上而言，密封拍卖主要可以分为两种类型，第一价格密封拍卖和第二价格密封拍卖（维克瑞拍卖）。

第一价格密封拍卖，是指所有竞拍者通过密封投标的方式竞价，出价最高的竞拍者获得竞拍品，并支付最高的报价。

第二价格密封拍卖（维克瑞拍卖），是指所有竞拍者通过密封投标的方式竞价，出价最高的竞拍者获得竞拍品，但只需支付第二高的报价。

策略分析

在第一价格密封拍卖中，每个竞拍者对竞拍品的估价是影响其出价的重要因素。

假设小王是一名理性的竞拍者，他对竞拍品的估价为a，可进行如下分析：

1. 小王不会出大于a的价格，否则他的收益将会为负数。

2. 如果小王出的价格等于a，那么他的净收益必定为零。

3. 如果小王出的价格小于a，那么他有可能获得一个正收益，但这将取决于是否有其他竞拍者出的价格高于小王出的价格。

小王想要出一个能让他赢得拍卖品的最小价格，并且这个价格小于a。例如，如果有另一个竞拍者，他的出价b满足b

然而，在这样的第一价格密封拍卖中，小王无从知晓其他竞拍者出的价，更不知道其他人的估价如何。所以，这是一个不完全信息博弈。即使只有两位参与者，求得这类博弈的纳什均衡也不容易。一个简化的情形是，所有参与者的估价是独立同分布的，即所有参与者的估价都满足同一个概率分布。

均衡分析

对于上面提到的简化情形，考虑只有两个竞拍者A和B参与的拍卖，他们对拍卖品的估价分别为a和b。两个竞拍者知道a和b都服从区间[0,1]内的连续均匀分布。每个竞拍者的出价恰好是其估价的一半，是一个对称贝叶斯纳什均衡。也就是A的出价是a/2，B的出价是b/2。

证明过程如下：

A知道B的出价是B对拍卖品估价的一半，即 f(b)=b/2，但A不知道b的具体大小。f是出价关于估价的函数。下面先求A的最优策略。

设A的出价是x。则当x≥f(b)时，A会赢得拍卖，A的收益是a-x，这个事件发生的概率是f-1(x)。当x

因此A的期望收益是G(x)=f-1(x)(a-x)，当G'(x)=0时，期望收益取最大值。而G'(x)=-f-1(x)+(a-x)/(f'(f-1(x)))，所以当f-1(x)=(a-x)/(f'(f-1(x)))时，G取最大值。

为了求对称贝叶斯均衡，取x=f(a)，则可得

f-1(f(a))=(a-f(a))/(f'(f-1(f(a))))

a=(a-f(a))/(f'(a))

af'(a)=a-f(a)

容易验证f(a)=a/2是方程的解。

第一价格和第二价格密封拍卖的比较

相同点

1. 获胜方都是出价最高的竞拍者；

2. 未获胜的参与者支出和收益都是0；

3. 拍卖方的预期收入相同。

两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合，而是因为它们是收益等价定理的特例——虽然有些拍卖规则互不相同，但是它们实际上是一回事，我们可以将收益等价定理简单的表述为：在符合独立私人估价、竞拍者对称并且风险中性等假设条件下（即满足拍卖的基准模型的四个假设条件），无论采用英式拍卖、荷兰拍卖、第一价格密封拍卖和第二价格密封拍卖四种类型中的哪一种拍卖方式，当竞拍者对拍卖品的估价是期望拍卖价格是相同的，而且获胜者的期望收益也是相同的。

不同点

1. 第一价格密封拍卖中获胜方支出最高的价格，第二价格密封拍卖中获胜方支出第二高的价格；

2. 第一价格密封拍卖中无支配性策略，第二价格密封拍卖中存在支配性策略，即出价应该和估价相等；

3. 第一价格密封拍卖中和第二价格密封拍卖中贝叶斯纳什均衡不同。

其他常见的拍卖类型

除了第一价格密封拍卖和第二价格密封拍卖外，另外两种传统上被用于单个拍品的拍卖类型，分别是英式拍卖（又叫升价拍卖）和降价拍卖（又名荷兰拍卖）。

应用场景

在密封拍卖中，卖方保留了巨大的控制权，因为他们可以看到每个竞拍者的估价情况。密封拍卖通常用于政府合同的投标，例如电视台广告时段的竞标。工程招标本质上也属于这种拍卖方式，但“出价”是多维的，涉及价格、设计、工期等多个方面，招标方需要权衡多个因素后决定最后赢家。

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