对偶曲线

数学术语

对偶曲线(dual curve)是研究平面代数曲线的一个重要工具。设C是射影平面中次数m>1的不可约曲线。C的所有非奇异点的切线的全体确定了对偶平面上的一个集合，它的闭包是一条代数曲线C'，称为C的对偶曲线。

概念

对偶曲线是研究平面代数曲线的一个重要工具。设C是射影平面中次数m>1的不可约曲线。C的所有非奇异点的切线的全体确定了对偶平面上的一个集合，它的闭包是一条代数曲线C'，称为C的对偶曲线。C'的对偶曲线就是C。C'的次数m′称为C的类，它是一个射影不变量，正好等于射影平面上过一个一般位置的点与C相切的直线数。

代数曲线

代数曲线是代数几何的一个基本概念。一维代数簇称为代数曲线。任意一条代数曲线都可通过正规化把奇点解消，成为一条光滑曲线。再完备化后就得到一条光滑射影代数曲线。由于光滑射影曲线间的双有理映射必定是同构映射，因此代数曲线的双有理分类问题可以归结为光滑射影代数曲线的双正则(即同构)分类问题。以下只考虑复数的情形。这时，复光滑射影代数曲线与紧黎曼面之间有一个一一对应的关系。再考虑这个紧黎曼面上的半纯函数域，就得到了一个C的超越次数等于1的扩域。反之，从C的一个超越次数等于1的扩域出发，可以定义一条抽象射影代数曲线。这就是著名的“三位一体”：光滑射影代数曲线、紧黎曼面以及复数域上超越次数为1的有限生成扩域实质上是同一个对象的三种不同表现方式.从而代数曲线的最重要的数值不变量——亏格也可用各种不同的方式来定义：它既是一个拓扑不变量，也是一个可由紧黎曼面上的整体全纯微分形式空间的维数或以结构层的第一级上同调空间的维数来定义的代数不变量。

黎曼(Riemann，(G.F.)B.)首先考虑了亏格g的所有紧黎曼面的参量空间问题，并发现这个参量空间的维数是3g-3(当g≥2时)，但黎曼未能严格证明它的存在性。20世纪中期，由于芒福德(Mumford，D.B.)等人的工作，人们对代数曲线参量空间簇Mg已经有了较深入的了解。芒福德把格罗腾迪克(Grothendieck，A.)的概形理论用到古典的不变量理论，创立了几何不变量理论，并且，用它证明了Mg的存在性及拟射影性。目前，人们对Mg的结构已有了深入的研究，例如：当g≥23时，Mg是一般型的；当g≤13时，Mg是单有理的。人们猜测，当g<23时，Mg是单直纹的。

代数几何

研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科。换言之，它是研究代数簇的.代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系。通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域。V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域.通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域。

代数几何的基本问题就是代数簇的分类。包括双有理分类与双正则分类(即同构分类)。若一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射。设有两个代数簇V1，V2，若V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集，则称V1，V2是双有理等价的。这等价于V1和V2的函数域之间的同构.按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类。分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类；其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类；第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远。因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量。例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化.目前，只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类。

20世纪初期，由于抽象代数方法的引入，抽象域上的代数几何理论建立起来了。特别是在20世纪50年代，塞尔(Serre，J.P.)把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这为格罗腾迪克(Grothendieck，A.)随后建立概形理论奠定了基础。概形理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概形的概念是代数簇的推广。粗浅地，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中有幂零元。概形理论把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。

20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同调理论，霍奇(Hodge，W.V.D.)的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞(Spencer，D.C.)的变形理论以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。

射影平面

亦称二维射影空间。射影几何研究的基本对象。指二维(平面)射影几何的全体点的集合。欧氏平面(或仿射平面)添加一条直线(即无穷远直线)后称为扩大平面。把扩大平面上的普通元素(点和直线)和无穷远元素不加区别同等看待，这平面就成为射影平面的一个模型。反过来，若在一个射影平面上任意取定一条直线，把它当做无穷远直线，并把这直线上的点当做无穷远点，而将其余的直线和点都当做有穷直线和有穷点，则该平面就可看做一个欧氏平面(或仿射平面)的扩大平面，即去掉了无穷远点的全体有穷点的集合是欧氏平面(仿射平面)。射影平面具有与欧氏平面(仿射平面)不同的性质。例如在射影平面上，任何一条直线都不能把射影平面分成两部分，任何两条直线都相交，但它们却不能把射影平面分成四部分。

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