对偶积分方程

奇异积分方程

对偶积分方程(dual integral equation)是一类重要的奇异积分方程，最重要的三类奇异积分方程是：1. 柯西核的奇异积分方程(包括希尔伯特核的奇异积分方程)，这是研究得最早和最完整的一类方程(其特点是未知函数出现在发散的积分号下，该积分只在柯西主值下有意义)，以及和它的特征方程有密切联系的黎曼问题；2. 以维纳-霍普夫方程为代表的带差核的积分方程；3. 对偶积分方程。

基本介绍

奇异积分方程的一典型类型是下面的对偶积分方程

其中是未知函数。对偶积分方程常在偏微分方程的混合边界值问题中出现，特别地，当是卷积核，即时，它可化为黎曼边值问题去解决。为此，在方程中引入新未知函数以及

与

将两方程都延拓到整个轴，方程可改写为：

做傅里叶变换得到

其中分别是的傅里叶变换，上式消去未知函数，即得到确定未知函数的黎曼问题：

它的指标是

解出后，原对偶积分方程的解可由

得出，可解情况讨论视指标而定。

它的离散形式是如下的对偶方程组

经典的含特殊函数的对偶积分方程是

其中J是贝塞尔函数，。它的解是蒂奇马什(Titchmarsh，E，Ch.)用梅林变换得到的，它是

奇异积分方程

奇异积分方程(singular integral equation)是弗雷德霍姆积分方程的重要推广和发展，包括允许积分核有不可积的奇点，积分区间是无限区间等多种情形。使弗雷德霍姆定理不成立的线性积分方程，通常称为奇异积分方程。主要有以下三种新现象：

1.特征值集有有限的极限点或有连续的谱。

2.对应一个特征值可能有无穷多个特征函数。

3.齐次方程和转置齐次方程的线性无关解的个数可能不相等。例如，拉列斯库-皮卡(Lalescu-Picard)齐次方程

当时，方程有非零解，所以所有大于1/2的实数λ都是特征值，即有连续谱。又如，傅里叶正弦变换产生的积分方程

当时有无穷多个线性无关解

奇异积分方程与弗雷德霍姆积分方程的本质差异在于前者出现在方程中的积分算子是有界算子甚至是有逆的，而后者只是相应函数空间中的紧算子，紧算子除有限维算子外是没有有界逆的，这就是弗雷德霍姆理论不能应用到奇异积分方程的根本原因。奇异积分方程的基本定理是诺特定理，弗雷德霍姆定理是它当指标为零的特例。也正因为奇异积分方程的积分算子不是紧算子，所以奇异积分方程一般不会出现如同第一类弗雷德霍姆方程与第二类那种本质差别。

最重要的三类奇异积分方程是：

1. 柯西核的奇异积分方程(包括希尔伯特核的奇异积分方程)，这是研究得最早和最完整的一类方程(其特点是未知函数出现在发散的积分号下，该积分只在柯西主值下有意义)，以及和它的特征方程有密切联系的黎曼问题。

2.以维纳-霍普夫方程为代表的带差核的积分方程(参见“维纳-霍普夫方程”)。

3. 对偶积分方程。

人们在相当深入地研究了以上几类奇异积分方程，以及它们相应的离散形式、方程组、高维的情形和各种各样的推广以后就企图用统一的观点去处理它们。统一的一个途径是把它们作为一般的维纳-霍普夫方程。

奇异积分方程的蓬勃发展和它的应用的广泛性是分不开的，它已被广泛应用于弹性理论、薄壳理论、断裂力学、电磁波衍射、大气层辐射传输、中子迁移、控制论、随机过程的预测和人口理论等领域.应用范围还在不断扩大。

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