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对偶群

数理科学术语

若G是局部紧致阿贝尔群，G的特征标是一个从G到圆群T的连续群同态；特征标在逐点乘法下构成一个群，一个特征标的逆元是它的复共轭。可证明所有G上的特征标在紧致开拓扑（即：以紧集上的一致收敛定义收敛性）下构成一个局部紧致阿贝尔群，称作对偶群。

定义
若 是局部紧致阿贝尔群， 的特征标是一个从 到圆群 的连续群同态；特征标在逐点乘法下构成一个群，一个特征标的逆元是它的复共轭。可证明所有 上的特征标在紧致开拓扑（即：以紧集上的一致收敛定义收敛性）下构成一个局部紧致阿贝尔群，称作对偶群，记为 或 。若 可分，则 可度量化，对一般的 则不尽然。
这可用线性代数中的对偶空间来类比，就像一个布于 的向量空间 有对偶空间 ，对偶群可看成 。更抽象的说，这两者都是可表函子，被 及 所表示。
定理：二次对偶 与 有个自然同构。
在此，“自然”或“典范”同构意谓一个“自然地”定义的映射 ，要点是它在范畴中满足函子性（详见条目范畴论）。举例明之：任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群，但并不存在典范同构。
定理中的自然同构定义如下：
换言之，我们借着将一个元素 在每个的特征上求值，得到一个 上的特征。
例子
在整数对加法形成的无穷循环群 （配上离散拓扑）上，设 为一特征，则 ，因此 决定于 的值；反之，给定一个，必存在特征 使得 ，由此得到群同构群同构 。此外也容易验证 上的紧-开拓扑对应到 诱导自 的拓扑。
因此， 的对偶群自然地同构于 。
反之， 上的特征皆形如 ，其中n是整数。由于 是紧的，其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出，对应的不外是 上的离散拓扑。因此 的对偶群自然地同构于 。
实数对加法构成的群 同构于自身的对偶群； 上的特征皆形如 ，其中 是实数。借着这些对偶性，下节描述的傅里叶变换将符应于 上的古典版本
扩展
对偶群与对偶函子：
函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。
对偶群的构造 给出一个对偶函子 ，其二次迭代 遂给出对偶函子： 。
定理：对偶函子是一个范畴等价。
定理：对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。
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