对分法

具体优选方法

对分法是用于单因素问题的一种具体优选方法。重复地在因素变化连续范围的中点进行试验以取得最优方案的方法。当一个实际问题依赖某一因素，而该因素的变化范围是可确定的区间〔a，b〕时，就可以用对分法找到解决这个问题的最佳方案。其优点在于：在不知道该实际问题的函数关系时，只需按一定程序做最少的试验就能成功。

算法

若要求已知函数的根 (x的解)，则：

先找出一个区间，使得与异号。根据介值定理，这个区间内一定包含着方程式的根。

求该区间的中点，并找出的值。

若与正负号相同则取为新的区间，否则取 .

重复第2和第3步至理想精确度为止。

例子

例: 求方程的解, 其中 sinh 是双曲正弦、cos 是余弦及x以弧度量度.

定义。因此这里是要求f(x) = 0 的根。

画出可大约得知其根约在 0.5 和 1 之间，故使初始区间的。

此区间之中点为 0.75。

因，其正负号不同，故令新区间为

又新区间的中点为 0.625, 而, 与f(0.5) 正负号相同，故新区间为。

不断重复运算即得的根约为 0.7033。

伪代码

输入的定义输入 a 和 b 为初始区间输入 e 为目标误差重复如下: 如果则否则直至。

应用

题干：一个数字介于1000000与9999999之间，要准确猜出这个数字是多少，甲提问，乙问答“是”或者“不是”，而乙知道答案，但是乙只能回答说的那个数和答案的大小关系。问甲问多少次，一定可以猜出这个数字是多少？

解答：要确定1000000与9999999之间的任何一个数，只需要问24次就行，这简直是难以置信。然而，只要你略微懂得一点数学中对分法的知识，就不必怀疑它的可能性了。

很明显，问一次可以确定二元组中的一个元素。四元组问二次即可，八元组问三次，十六元组问四次，一般地说，问n次可以辨别出 2的n次方元组里的任何一个选定的元素。

对分法优选法

数字0.618…更为数学家所关注，它的出现不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。

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