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对数公式

数学公式

对数运算是指数运算的逆运算，利用对数，人们可以更为灵活地处理较大的数字。对数表和对数尺的发明进一步减小了人们使用对数处理数据的难度。对数公式是用于描述对数运算性质、对数函数性质的一组公式，在数学上、工程上都有广泛的应用。

对数的运算
定义
设是一个不为1的正实数，为任意给定的正实数，如果实数满足
则实数称为以为底的的对数，记作
其中，称作底数，称作真数。
基本性质
设 是一个不为1的正实数，那么以其为底的对数有下面这些基本性质：
证明：
设，则由对数的定义知
因而，该性质得证。
特别地，当时，有
证明：
设，则由对数的定义知
由指数函数是双射可知。从而该性质得证。
证明：
设，, 则由对数的定义知,
而，
由指数函数是双射可知，。从而该性质得证。
特殊对数
以10为底数的对数称为“常用对数”，又叫“布里格斯对数”，简写为。
以自然常数为底数的对数称为“常用对数”，又叫“纳皮尔对数”，简写为。
在底数不重要的情形下，有时省略不写。例如在算法复杂度的分析中，由于不同底数的对数之间仅相差常数倍数，故对数复杂度直接写为。
对数表与对数尺
为了处理大数的乘除运算，实际应用中可以先对其取对数，将大数的乘除转化为小数的加减（详见下一节2.1“化积为和”部分）。因此，历史上产生了大量的“对数表”，方便人们直接查表得到一些对数的结果，节省运算时间。
自对数表发明以来，至少已经出现过五百多种不同的对数表。例如法国的加莱于1795年编写了从2到1200的20位数的对数表。此后还有沃尔佛兰姆编写了10000以内的48位数对数表、沙尔普编写了61位数对数表、帕尔克赫斯特编写了102位数对数表、亚当斯编写了260位数对数表。（以上均为自然对数）
此外，还可以在其中加入根据对数原理设计的对数尺，用法简单，甚至不要求使用者学习理解对数的性质。
公式内容及推导
化积为和
对于，则有。
证明：
设
则由对数定义式可得
将两式分别相乘、相除可得
则
即
得证。
化幂为积
对于，则有, 。
证明：
设，则由对数的定义，
变形后可得
则
即
换底公式
对于，有。
证明：
设
两边取对数后可得
也即
从而可得
于是
换底公式得证。
导数公式
此处的对数表示对数函数。
对于，则有，特别地。
证明：
由导数的定义和换底公式，即可得
其中用到了一个特殊的极限，得证。
积分公式
此处的对数表示对数函数。
对于，则有，特别地（ 为常数）。
证明：直接对原函数求导验证即可。或者用分部积分公式：
其中为常数。
应用举例
分贝（dB）是一个用来表示声音强度相对于参考值的对数单位。它通常用于描述声音的响度，其和声强的关系为
其中是声强级（以分贝为单位），是被测量的声强（以瓦特每平方米为单位），是参考声强，其数值为瓦特每平方米。
（1）已知人耳能听到的最微弱的声强级为。求该声音的声强。
（2）长时间暴露在瓦特每平方米的环境中可能会对人耳造成损伤。求该声音的声强级。
解：将数据代入公式可得
解之得
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