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对数变换

数学术语

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b（其中a叫做对数的底数，N叫做真数），这就是对数变换。

概念
由定义知：
①负数和零没有对数；
②a>0且a≠1,N>0；
③loga1=0,logaa=1,a^logaN=N,loga(a^b)=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN。
对数式与指数式的互化式子：
指数式ab=N（底数）（指数）（幂值）；
对数式logaN=b（底数）（对数）（真数）。
运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1) +
(2)
(3) =n (n∈R).
问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0？
② =？(n∈R)
③对数式与指数式的比较
式子 ， =b名称a—幂的底数
b—N—a—对数的底数
b—N—运算性质
其中(a>0且a≠1,M,N∈ )。
其中(a>0且a≠1,M,N∈ )。
难点
对数定义中，为什么要规定a>0,，且a≠1?
理由如下：
①若a<0，则N的某些值不存在，例如log-28?
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数。
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数。
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数。
解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化
②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n·3。
已知logax=4,logay=5，求A=x5y-4 的值。
解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值。
解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x5y-4=(a4)5(a5)-4=a20·a-20=a0=1.
解法二：对所求指数式两边取以a为底的对数得
logaA=loga(x5y-4)=5logax-4logay=5×4-4×5=0,
∴A=1.
有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算。
在Excel中进行对数变换
求对数使用log函数，如图1所示，在B2输入公式=log(A2,10)，下拉即可，第二个参数10表示底数，可根据需要调整。
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