对角线论法

间接论证

“对角线论法”就是“反证法”的别称，间接论证的一种。先论证与原论题相矛盾的论题即反论题为假，然后根据排中律确定原论题为真。反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

简介

原理

对角线论法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。实际的操作过程还用到了另一个原理，即：原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。

若原命题：

为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p且¬q。

从结论的反面出发，推出矛盾，即命题：p且¬q 为假（即存在矛盾）。

从而该命题的否定为真。

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p⇒q为真。

误区：

否命题与命题的否定是两个不同的概念。

命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论：

原命题：p⇒q；

否命题：¬p⇒¬q；

逆否命题：¬q⇒¬p；

命题的否定：p且¬q。

原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在，一个为真另一个必然为假。

适用命题

只能用对角线论法证明的命题，有以下几类：

1、很多已知当中只有两个元的问题。

由于条件有限，基本上也只能采用反证法。这类问题通常是一个公理体系里只有A、B两项，由已知命题推未知命题的真假。

2、对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理

由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。

3、证明一个集合有无穷多个元素

① 用反证法。即证明如果它是有限的，则会存在矛盾；

② 与另外一个无穷集合建立映射，这时加进来的已知无穷集合作为引理出现。

证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。

再如，证明不存在最大的自然数。如果从正面去证明的话，相当于列举自然数，然而我们在有限的步骤中完成，因此直接证法行不通。于是，利用排中律转化为：对于所有自然数n，存在一个自然数m，使得m>n。这几乎是显然的。

总之，只要承认证明过程中只能在有限的步骤中完成，那么关于无穷的问题，我们也只能利用排中律转化为有穷来证明。

依据

编辑

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

使用方法

运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。要想正确的做出反设，必须注意以下几点：

（1）分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。

（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。

总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。

全国各地天气预报查询

上海市

市辖区

云南省

临沧市

云南省

丽江市