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对角阵

数学名词

只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

定义
只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵，其形状为
简记为 。
对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的n阶对角（矩）阵称为单位（矩）阵，记作 ：
主对角线以下元素都为零的方阵，称为上三角阵，即
主对角线上方元素都为零的方阵，称为下三角阵。
可见，对角阵既是上三角阵，又是下三角阵。
矩阵的对角线有许多性质，如做转置运算时对角线元素不变、相似变换时对角线的和(称为矩阵的迹)不变等。在研究矩阵时，很多时候需要将矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量，而有时又需要用一个向量构造一个对角阵。
分类
通常把对角阵分为正对角阵和反对角阵。
正对角阵，例如：
反对角阵，例如：
分块对角阵
设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即
其中 都是方阵，则称A为分块对角阵。
如何对给定的矩阵进行分块，完全取决于矩阵中元的形式，如果能将矩阵分成分块对角阵，则对矩阵的各种运算必将带来很大的便利，同时加快可以用逆阵求解的线性方程组的解决速度。
线性变换应用
1. 设 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，则有以下结论：
1) 在某组基下的矩阵为对角阵的充要条件是 有n个线性无关的特征向量；
2) 属于不同特征值的特征向量线性无关。
由此可得，如果 有n个互不相同的特征值，则 在某组基下矩阵为对角阵。
特别地，复数域上的线性空间中，如果其线性变换 的特征多项式没有重根，则 在某组基下矩阵为对角阵。
3)如果 是 的不同特征值，而 是线性变换 属于特征值 的线性无关的特征向量， ，那么向量组 也线性无关。
由此可得，若 是线性变换 的全部互异特征值，则有
是直和，所以 在某基下矩阵为对角阵的充要条件是
此时，将 各取一组基，再合起来，即 的n个线性无关的特征向量构成的基。
4)由3)可得， 在某组基下矩阵为对角阵的充要条件是 的特征多项式(即 在任一基下矩阵的特征多项式)的根均属于P，且各特征值的几何重数等于代数重数。
n阶矩阵A与对角阵相似问题
1)如果A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似。
2)设 是矩阵A的所有互异特征值，如齐次线性方程组 的解空间维数 等于 作为特征值的重数 ，则A与对角阵相似。
3)设 是矩阵A的n个线性无关的特征向量，相应特征值为 (可以有相同特征值)，取 ，则有
矩阵的最小多项式与矩阵相似对角化问题
1)设 ，如果多项式 使 ，则称 以A为根，也称 为A的化零多项式。
根据哈密尔顿一凯莱定理，任意数域P上一个n阶方阵A，其特征多项式 是A的化零多项式，这一点保证了化零多项式的存在性。
称以A为根的次数最低且首项系数为1的多项式为A的最小多项式，A的最小多项式一般记为 。
2)任一矩阵A的最小多项式都是唯一的，且最小多项式整除A的任一化零多项式。
特别地，A的最小多项式整除A的特征多项式．此说明A的最小多项式的根都是A的特征根。
3)A的任一特征根都是最小多项式的根。
说明： 由2)、3)知，在不考虑重数的情况下，矩阵A的特征多项式 与最小多项式 的根完全一致。
矩阵最小多项式求法
方法1 按如下步骤进行：
步1：求解A=a0E，若有解a0，则λ-a0是A的最小多项式，否则，转步2；
步2：求解A2=a0E+a1A，若有解，则λ2-a1λ-a0是A的最小多项式，否则转步3；
步3：求解A3=a0E+a1A+a2A2，…。
以此类推。
方法2 先求出A的特征多项式 ，分解因式，再借助A的最小多项式 ，通过分析 的因子，找出首一的次数最低的A的化零多项式，此即为 。
方法3 A的最小多项式是 的最后一个不变因子，据此，可利用化 为标准形的方法以求出 ，此即为A的最小多项式。
注: 对准对角阵 A的最小多项式是A1，A2的最小多项式 的最小公倍式
[ ]。
5)数域P上n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式之积。
特别地，复数域上矩阵A与对角阵相似的充要条件A的最小多项式无重根。(例如，若 ，m是正整数，则A与对角阵相似，请读者思考为什么?)
6)矩阵A是数量矩阵的充要条件是其最小多项式为一次多项式。
注: 两个矩阵相似，它们有相同的最小多项式，反之不真。
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