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封闭折线

几何图形

封闭折线是一种几何图形，指一种特殊的折线。同一平面内，由不在同一直线上的几条线段顺次首尾相接所组成的图形叫作折线，如果一条折线的首尾两个端点重合，这条折线叫作封闭折线。

基本概念
不全在同一直线上的几条线段顺次首尾相接组成的图形叫做折线(如图1，图2)。各线段称为折线的边或折线的节；折线各边长之和称为折线的长；各线段的端点称为折线的顶点；相邻两个顶点称为邻顶点；不是两条线段公共端点的两个顶点都称为折线的端点；两端点重合(实际上即无端点)的折线称为封闭折线(图2)。组成折线的所有线段都在同一平面内的折线称为平面折线，否则称为空间折线。凡不相邻的两边不相交的折线称为简单折线，把一条平面简单折线的任一条边向两方延长成直线，如果能使这条折线的其他各边都在这条直线的同侧，那么这条平面折线称为凸折线，连结非封闭折线的两个端点的线段称为折线的锁线。
封闭折线的基本性质
平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形，称为平面折线。下面约定，任何端点不在另外的线段上，构成折线的线段称为边，线段的端点称为顶点，共边两顶点称为相邻顶点，如果折线每条边都有两条邻边，就称为封闭折线，否则，称为开折线。
定理1 n边封闭折线有n个顶点；n边开折线有n+1个顶点。
边不相交的折线称为简单折线，简单封闭折线称为多边形，多边形将平面分为两部分，其中有限部分称为多边形的内部，不难证明有:
定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为n-2个三角形。
定理3 n边形内角和等于(n-2)π。
沿折线一条边经顶点A走向邻边，如向左(右)拐，A就叫作边AB的左(右)折点(图3(a))，称一端为左折点，另一端为右折点的边(图3(b))为单折边，两端均为左或右折点的边(图3(c))为双折边，且前者为左旋边而后者为右旋边，易见，封闭折线的每个顶点，分别为两邻边的左折点和右折点，封闭折线有如下特征性质，
定理4封闭折线如果有双折边,则双折边成对、左右旋边各半且相间排列。
定理5 多边形P为凸的充要条件是P的所有边均为单折边。
定理6 若封闭折线有双折边，则顶角和不定。
定理7 m阶n边星形顶角和θ(n，m) = (m+1)π。
下面t环单折边封闭折线特征是：当沿着它的边界运动一周时，必绕某一中心旋转t圈，如图4中的折线分别1,2,3环。
定理8 n边t环封闭折线项角和为σ(n，t) = (n-2t)π。其中，n = 3，4，5，...；t = 1，2，3，...。
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