射影变换

数学术语

由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换。由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。

简介

由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换。

由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。

因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。

交比

定义

若A、B、C、D为直线l上的任意四点，称两个单比和的比为这四点的交比或复比，

定理

中心射影保持共线四点的交比不变。

射影变换

定义

平面上两个线束的射影变换及线束的交比。如下图1所示，平面上有两个线束O,O’，若它们所有对应线的交点共线，则称这两个线束的对应为中心射影。类似点列的射影变换，有限次中心射影的积称为线束间的射影变换。

定理1

射影变换保持线束的交比不变。射影坐标系定义如下，直线L上的一维射影坐标系由原点O，单位点E与无穷远点I定义任意一点A的坐标由交比x=R(A,E,O,I)定义。由交比定义得，E,O,I点的坐标分别为。

二维平面上的射影坐标系由不共线的四点定义，即O(原点),E(单位点),Ix(x轴上的无穷远点)与Iy(y轴上的无穷远点)定义，平面上任意一点A的射影坐标由两个交比定义。

定理2

平面上全部射影变换的集合构成群

称之为射影变换群，仿射变换群、相似变换群、正交变换群都是它的子群。

仿射变换

仿射变换是射影变换的特殊情况，当定义中心射影的线束为互相平行的直线时，变换称为仿射变换，由于线束中的直线互相平行，显然，仿射变换保持交比不变。

相关知识

射影平面

射影平面就是2维射影空间。它可以视为平面添上一条无穷远直线。它是代数几何、射影几何里最基本的对象。

对射影平面的理解是从局部到整体的扩展过程。先从无穷远元素、射影直线的理解入手，再到射影平面定义的理解，最后利用射影平面的模型来揭示射影平面的结构，想象它的形状，帮助初学者更好地理解射影平面的结构与性质。在射影几何的基本内容中，初学者对射影平面尤感兴趣，但又觉得其极为抽象、难以理解，这主要是与我们的直观认识不一致引起的。因此，从射影平面上的无穷远点、无穷远直线、射影直线的理解入手，在理解这些抽象概念的同时，即理解射影平面上元素的特点，接着理解射影平面的定义，最后给出射影平面的模型以帮助理解射影平面的形象。

理解射影平面上的元素

对射影平面的理解建立在对无穷远元素以及射影直线的透彻理解的基础上，射影平面上元素的特点决定了射影平面的性质。

理解无穷远元素的约定：

在射影平面上有约定：在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一直线上而不在此组外的任何直线上。一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫无穷远直线。我们应对这约定有深刻的理解；这约定的途径是给平行直线添加交点，而且不破坏点与直线的两个基本关系，即两条不同直线确定唯一交点，两个不同的点确定唯一一条直线；对应于平面上的每一个方向，有唯一无穷远点；每一条直线上有且仅有一个无穷远点；平面上添加的无穷远点的个数等于过原点的直线数，平面上任意两条直线有且仅有一个交点；无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上；每一条普通直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点；每一个平面上有且仅有一条无穷远直线。

理解射影直线的定义：

射影直线是指射影平面上的直线。射影直线的定义是：在欧氏直线上添加一个无穷远点后得到仿射直线，在仿射直线上，如果把普通点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。根据上述约定以及射影直线的定义，我们通过区别欧氏直线与射影直线来理解射影直线的形象，比如：欧氏直线是不封闭的，一点分直线为两部分，三点排成唯一顺序.射影直线是封闭的，一点不能分直线为两部分，三点不能排成唯一顺序，所以，可以选取圆作为射影直线的模型。

理解射影平面的定义：

射影平面的定义比较抽象，它在射影平面的理解中是必不可少的一个环节。射影平面的定义是：欧氏平面上添加一条无穷远直线即可得仿射平面，在仿射平面上，如果对普通元素与无穷远元素不加区分，即可得射影平面。结合射影直线的定义可得出对射影平面的如下理解：射影平面上的直线是封闭的，且任意两条直线有一个交点，每一条直线上有唯一一个无穷远点，射影平面上有唯一一条无穷远直线。根据上述的理解，还可得出射影平面与欧氏平面的不同，如：在欧氏平面上一条直线可以把平面分为两个区域，两条相交直线可以把平面分为四个区域；而在射影平面上，一条直线并不能把该平面分为两个区域，因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交，而另一线段一定不与此直线相交。两直线只能把射影平面分为两个区域，这两部分和Ⅱ的两部分都是相通的，而Ⅰ、Ⅱ两部分是不相通的。因为在射影平面上，直线是封闭的，且两直线有且仅有一个交点。

用射影平面的模型来理解射影平面的形象

在上述理解的基础上,为了进一步理解射影平面的整体性质,给出射影平面以下的几种模型。

模型一：

我们知道，默比乌斯带的特点是具有单侧性，即沿着这带子上任一处出发涂一种颜色，则可以不越过边界将它全部涂遍(即原纸带的两面都涂上同样的颜色)。我们从下面这模型出发，借助于默比乌斯带的单侧性来说明射影平面也是单侧的。我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部份。如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘和起来，就可以得到射影平面。我们可以想象得出射影平面的单侧性和封闭性。在欧氏空间里，我们只能看到射影平面的一部分。

模型二：

射影平面的模型还可以如下方式给出，设在欧氏空间中给定一个原点O为球心的球面，当把球面上对径点粘和为一点，视为射影点，并把对径点粘和为一点的球面上的大圆视为射影直线，则得到的图形即为射影平面的一个模型。

在这模型中，射影直线都是封闭的，并且任意两条射影直线都相交于一点。而且，是为了使得中心射影成为一一对应，才给平行线添加交点，引进了无穷远点。从而由欧氏直线得到仿射直线，由仿射直线得到射影直线，而由欧氏平面得到仿射平面,由仿射平面得到射影平面。在这里，此射影平面的模型还可以与仿射平面建立一一对应关系。事实上，取定与给定球面相切于一点的仿射平面α，以球心O为射影中心建立此模型Ψ到仿射平面α的中心射影，在此中心射影下，对于Ψ上的Ao点，即球面上的一对对径点A和B，从球心O作通过A和B两点的直线交仿射平面于点C，则点Ao与C对应，而由位于过球心O，平行于α的欧氏平面上的球面大圆所决定的射影直线，则对应于仿射平面上的无穷远直线。这样，就可以建立α上的点与Ψ上的点之间的一一对应。

模型三：

射影平面还可以有其它的模型。取过空间一点O的全部直线和平面，称为一个把。对于仿射平面α上任一点，对应于把上的一条直线OA，α上的任意一条直线l对应于把里的一个平面β。把的每一条直线称为一个“点”，其中每一个平面称为一条直线，则这个把也是射影平面的一个模型，可把这模型称为直线把模型。在这个模型里,满足两直线交于一个点。对于上述所讨论的模型，是从通常空间加以改造而得出的，这有助于我们理解射影平面的结构与性质。

综上所述，在射影平面上，直线是封闭的，每一条直线上都有一个无穷远点，两条直线有且仅有一个交点，射影平面从局部上看与欧氏平面相同，而从整体看，它是一个具有单侧性的封闭曲面。

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