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射影对应

射影几何中最重要的对应

射影对应是射影几何中最重要的一种对应，通常指射影空间（平面、直线）之间保持共线性和共线四点的交比不变的点的一一对应。

简介
射影对应亦称射影映射(projective mapping)、直射映射(collineation mapping)。
射影空间 到射影空间 的映射F称为射影映射：
(1)如果子空间 ⊂ ，则F( )⊂F( )；
(2)对于每个子空间 ，存在 ，使得F( )= ；
(3) = ,当且仅当F( )=F( )。
一维射影映射
设l和l’是两条射影直线，f是从l上的点集到l’上的1-1映射，保持l上的任何四点的调和共轭性不变（即：若l上的四点A，B，C和D满足交比(AB,CD)=-1，则f(A)=A’，f(B)=B’，f(C)=C’和f(D)=D’满足(A'B',C'D')=-1），则称f为从1到I'的一维射影映射(onedimensional projective mapping)。
一维射影映射保持任何四点的交比不变，且其逆映射也是一维射影映射。
两个一维射影映射的合成仍是一维射影映射。
一维射影映射由三对对应点唯一决定（一维射影映射的基本定理），即: 若P1，P2和P3是l上的三个不同点，P'1，P'2和P'3是l'上的三个不同点，则有唯一的射影映射f，使 。
一条射影直线到自身的射影映射称为一个一维射影变换。若一个一维射影变换有三个不同的不变点，则该一维射影变换是恒等变换。设l上的点P的射影坐标为(x'1,x'2)，点f(P)=P'的射影坐标为(x1,x2)，则f可以由下列非奇异线性变换来表示：
其中一切 ∈ℝ为常数，且ρ≠0,系数行列式det( )≠0。
二维射影映射
设π和π'是两个射影平面，f是从π上的点集到π'上的点集的1-1映射，保持点的共线性不变（即: π 上的共线点的象是π'上的共线点），则称f为从π到π'的二维射影映射(two-dimensional projective mapping)。
二维射影映射保持共线四点的交比不变，且其逆映射也是二维射影映射。
两个二维射影映射的合成仍是二维射影映射。
二维射影映射由四对一般位置的对应点唯一决定（二维射影映射的基本定理），即:
若P1，P2，P3和P4是π上的四个不同点，其中任何三点不共线，P'1，P'2，P'3和P'4是π'上的四个不同点，其中任何三点也不共线，则有唯一的射影映射f，使f(Pᵢ)= P'ᵢ(i= 1,2,3,4)。
一个射影平面到自身的射影映射称为一个二维射影变换。若一个二维射影变换有四个不同的不变点，其中任何三个不共线，则该二维射影变换是恒等变换。
设π上的点P 的射影坐标为(x1,x2,x3)，点f(P)=P'的射影坐标为(x'1,x'2,x'3)，则f可以由下列非奇异线性变换来表示：
其中一切 ∈ℝ为常数，且ρ≠0,系数行列式det( )≠0。
从π到π'的二维射影映射f诱导出从π上的直线集到π'上的直线集的1-1映射f'，因为π上的任意直线l上的点在f下的象必在π'上的某直线l'上，从而产生了映射f' :l→I'。
设l的直线坐标为 ，I'的直线坐标为 ，则f'也可以由非奇异线性变换来表示：
其中λ≠0。 是 在det( ) 中的代数余子式，系数行列式det( ) ≠0。
三维射影映射
设K 和K'是两个射影空间，f是从K中的点集到K'中的点集的1-1映射，保持点的共面性不变（即: K 中的共面点的像是K'中的共面点），则称f为从K到K'的三维射影映射(three-dimensional project ive mapping)。
三维射影映射保持点的共线性和K中的任何共线四点的交比不变，且其逆映射也是三维射影映射。
两个三维射影映射的合成仍是三维射影映射。
三维射影映射由五对一般位置的对应点唯一决定（三维射影映射的基本定理），即: 若P1，P2，P3，P4和P5是K中的五个不同点，其中任何四点不共面，P'1，P'2，P'3，P'4和P'5则有唯一的射影映射f，使f(Pᵢ)= P'ᵢ(i= 1,2,3,4,5)。
一个射影空间到自身的射影映射称为一个三维射影变换。
若一个三维射影变换有五个不同的不变点，其中任何四个不共面，则该三维射影变换是恒等变换。
设k中的点p的射影坐标为(x1,x2,x3,x4)点f(P)=P'的射影坐标为(x'1,x'2,x'3,x'4)，则f可以由下列非奇异线性变换来表示:
其中一切 ∈ℝ为常数，且ρ≠0,系数行列式det( )≠0。
从K到K'的三维射影映射f诱导出从K中的平面集到K'中的平面集的1-1映射f'。因为K中的任意平面α上的点在f下的象必在K'上的某平面α'上，从面产生了映射f'≠α→α。设α的平面坐标为 ，α'的平面坐标为 ，则f'也可以由非奇异线性变换来表示：
其中λ≠0，是在det() 中的代数余子式，系数行列式det() ≠0。
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