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射影测度

数学术语

射影测度(projective measure)是射影几何的一个术语，距离的射影测度(射影距离)和夹角的射影测度(射影角度)合称为射影测度。射影测度是凯莱(A.Cayley)于1859年建立的，1871年，克莱因(C.F.Klein)利用射影测度的概念来说明非欧几何学。非退化的二阶曲线有实虚两种情况，若绝对形为非退化的实二阶曲线，则可构成罗氏几何；若绝对形为非退化的虚二阶曲线，则可构成黎氏几何，这两种几何合称非欧几何，这样非欧几何就可以从射影测度的概念导出，因为射影测度是由交比来定义的，它属于射影性质，所以非欧几何可以利用射影测度从射影几何导出。

基本介绍
1859年A.凯莱将拉盖尔思想进一步发挥，得到角的射影测度的概念。将拉盖尔公式中的一对圆点，看作是变态(退化)的二级曲线，并以常态（非退化）二级曲线来代替。1871年F.克莱因首先发明使用射影测度来说明非欧几何。简单来说，他在复射影平面上的实绝对形内部，规定了一些具体概念，定义射影测度后，作成了一个罗氏几何的射影模型即克莱因模型，在这个模型里。罗氏几何的全部公理都能够得到解释，因而罗氏几何的全部概念和定理都能在模型中体现出来。
相关概念与定理
在平面内，取定一条常态二级曲线，并选定一常数k(k≠0)。对于平面内的任意两条直线a、b，从它们的交点引的两条切线t1、t2(图1)，作函数
因为二直线a、b确定以后，它们的交点也就唯一地确定，二切线t1、t2随即也被确定，由于
所以函数由二直线a、b唯一确定(除符号外)。利用交比的性质，可以验证函数满足下列三个条件：
1．，
2．；
3．若直线a、b、c相交于一点，则
定义1 函数称为二直线a、b的有向夹角的射影测度，简称为射影角度。预先规定的二级曲线f称为这测度的绝对形，常数k称为测度系数。
下面我们研究射影角度的表达式。
设二级曲线(给定的绝对形)的方程为
二直线a、b的坐标分别为及，由a、b的交点所引的二切线t1、t2(它们a、b属于同一线束)的坐标可以表为
由于与二级曲线相切，故有
展开，得
其中。
所以
如果以表示这两个根，那么的坐标分别为
因此
对偶地，我们可以规定两点间距离的射影测度。在平面内，给定一条常态的二阶曲级，并选定一常数K(K≠0)。对于平面内的任意两点A、B，它们的连线交二阶曲线于P1、P2(图2)，作函数
函数d(A，B)被A、B两点唯一确定(除符号外)，利用交比的性质，可以验证函数d(A，B)满足下列三个条件；
1．d(A，A)=0；
2．d(A，B)=-d(B，A)；
3．若么、B、C是一直线上的三点，则d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)。
定义2 函数称为两点A、B间的有向距离的射影测度，简称为射影距离。预先规定的二阶曲线称为这测度的绝对形，常数K称为测度系数。
设二阶曲线的方程为
二点A，B的坐标分别为(a1，a2，a3)及(b1，b2，b3)，类似地可求出射影距离的表达式
其中。
由射影距离的定义还可以看出，当A(或B)P1(或P2)时，交比(P1P2，AB)0，d(A，B)。因此有
定理1 平面上任何一点与绝对形上的任何点间的射影距离为无穷大。
由定理1可以看出，作为绝对形的二阶曲线与欧氏测度中的无限远直线相当。
定义3 设二直线的交点在实的绝对形上，则称这二直线为平行直线。
关于射影角度，我们有如下的定理。
定理2 如果二直线的交点在绝对形上，则它们的夹角的射影测度等于零。
证明 若二直线a、b的交点在绝对形上，过此交点所引的的两条切线重合为一条直线，即，交比(tt，ab)=1。
。
定理2说明，两条平行直线所成的夹角等于零。
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