尖点

数学名词

尖点（cusp）是曲线中的一种奇点，曲线在尖点。若一曲线可以由几组光滑函数来表示，几组光滑函数有交点，但曲线只通过此交点一次，此交点即为尖点。

简介

在数学中，尖点（cusp）在旧文本中称为奇点，是曲线上瞬间改变方向的一个点。因此，尖点是曲线的奇点的一种。曲线在尖点时，没有自相交的情形。

对于由可微分参数方程定义的平面曲线

尖点是f和g的两个导数都为零的点，并且其中至少有一个改变符号。在这个意义上，尖点是局部奇点，它们仅涉及参数t的一个值，与涉及多个值的自交点相反。

对于由隐式方程定义的曲线

尖点是F的泰勒展开的最低维的项；然而，并不是所有具有此属性的奇点都是尖点。

平面曲线尖点可以通过平面的不同形状被写成以下形式：

其中k≥1并且是整数。

差分几何分类

考虑两个变量的平滑实值函数，如f（x，y），其中x和y是实数。所以f是从平面到线的一个函数。所有这些平滑函数由平面和线的不同形状组成，源和目标之间的坐标变形不同。该动作将整个函数分成等价类。

这样的等价类的族由Ak±表示，其中k是非负整数，这个符号由V.I.Arnold提出。如果函数f位于x2±yk + 1的曲线中，那么函数f被认为是类型Ak±，即在源和目标中存在将坐标变换成这些形式。这些简单的形式x2±yk + 1被称为给出类型为Ak±的维度的正常表达式。注意，由于源中坐标（x，y）→（x，-y）的变形变化为x2 + y2n + 1〜x2-y2n + 1，所以A2n +与A2n-相同。所以我们可以从A2n±符号中减去±。

举例

普通的尖点由x2-y3= 0给出，即类型A2-奇点的零电平集合。令f（x，y）为x和y的平滑函数，为了简便起见，假设f（0,0）= 0。那么（0,0）的f的类型A2奇点可以表征为：

（1）f的泰勒级数中的二次项，称为L（x，y）2，其中L（x，y）在x和y中是线性的；

（2）L（x，y）不分割f（x，y）的泰勒级数中的三次项。

通过x2 - y5 = 0给出了一个尖点，即A4型奇点的零维集合。对于A4型奇点，我们需要f具有简并二次部分（给出类型A≥2），L分割三次项（给出类型A≥3），另外可分解条件（给定类型A≥4），和最终的不可分割条件（给定类型为A4）。

为了看这些可分性条件来自哪里，假设f具有简并二次分量L2，并且L分割三次项。因此，f的三阶泰勒级数由L2±LQ给出，其中Q在x和y中是二次方。我们可以完成平方，显示L2±LQ =（L±½Q）2 - ¼Q4。我们现在可以做出变量的变形（在这种情况下，我们简单地用线性独立的线性部分来代替多项式），使得（L±1QQ）2 - ¼Q4→x12 + P1其中P1在x1和y1中是四分之一（四阶）。 A≥4的可分性条件是x1除以P1。如果x1不分P1，那么类型完全是A3。如果x1划分P1，我们在x12 + P1上完成平方和改变坐标，使得我们有x22 + P2，其中P2在x2和y2中是五次的（五阶）。如果x2不分割P2，则我们具有精确的A4类型，即零维度集是一个尖点。

应用

当在三维欧几里得空间中投射到平面中时，自然会出现尖点。一般来说，这样的投影曲线，其奇点是自交点和尖点。当两条曲线的不同点具有相同的投影时，出现自交点。当曲线的切线平行于投影方向（即在单点上切线投影时），会出现尖点。当多个现象同时发生时，会发生更复杂的奇点。例如，对于拐点与投影方向平行的拐点（和起伏点）出现尖点。

在许多情况下，通常在计算机视觉和计算机图形学中，投影的曲线是对投影的（平滑）空间物体的限制的关键点的曲线。因此，尖点显示为物体（视觉）或其影子（计算机图形）的图像的轮廓的奇点。

焦散和波阵面是具有在现实世界中可见的尖点的曲线的示例。

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