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左导出函子

数学名词

在同调代数中，阿贝尔范畴间的某类函子可以“求导”，以获得相应的导出函子。此概念可以融贯数学中许多领域里的具体构造。导出函子包括左导出函子和右导出函子。

简介
在同调代数中，阿贝尔范畴间的某类函子可以“求导”，以获得相应的导出函子。此概念可以融贯数学中许多领域里的具体构造。
考虑导出函子的原始目的是从一个短正合序列造出一个长正合序列。具体言之：给定两个阿贝尔范畴 ，及其间的加法函子 。假设 为左正合函子，换言之，对 中的任一短正合序列
下列序列是正合的：
构造与初步性质
右导出函子
今假设 中有充足的内射元。设 ，根据假设，存在内射分解：
取函子 ，得到上链复形：
定义为其第个上同调群，特别是有。注意到两点：
由于任两个内射分解彼此同伦等价，函子在同构的意义下是明确定义的。
若是内射对象，取平凡分解，可知当时有。
左导出函子
左导出函子的建构与右导出函子对偶。设为右正合加法函子，并假设有充足的射影元。对任一对象，取一射影分解：
取函子，得到链复形：
定义为其第个同调群，其性质类似右导出函子。
逆变函子的情形
对于逆变函子也能定义导出函子，此时的导出函子也是逆变函子。较有系统的方法是利用反范畴的概念。
长正合序列
对于右导出函子的情形，任一短正合序列给出长正合序列：
对于左导出函子，相应的长正合序列形如：
此外，这些长正合序列在下述意义下是“自然”的：
这些性质是蛇引理的推论。
应用
层上同调：对拓扑空间，考虑其上的阿贝尔群层构成的范畴，它有充足的内射元。整体截面函子是左正合函子，相应的右导出函子即层上同调函子。
平展上同调：平展上同调用于概形上的另一种上同调理论。
Ext函子：设为环，考虑-模范畴，它有充足的内射元及射影元。对任一-模，函子为左正合的，其右导出函子记为。
Tor函子：同样考虑-模范畴，对任一-模，函子为右正合的，其左导出函子记为。
群上同调：设为群。所谓-模是指被作用的阿贝尔群，-模范畴可以理解为-模范畴。对任一-模，定义，这是一个左正合函子，其右导出函子即群上同调函子。
推广
现代的导范畴理论为导出函子提供了一套较广的框架。
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