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商模

模论的重要概念

商模(quotient module)是模论的重要概念之一，模M与它的商模M-之间的性质有着密切的联系。它是将A模M的元素进行陪集分类后所得到的新模，亦称“差模”。设是上左模的一个子模，则商群M/N中可定义R中元素的作用：a(x+N)=ax+N，其中a∈R，x∈M，x+N∈M/N，则M/N成为一个模，称为M关于N的商模，同样可定义右模的商模。

定义
设M是一个R-模，N是M的一个R-子模，则N是加法群M的子群，于是有商群M/N，它的元素是N在M内的陪集 ，因为N为R-子模，我们可以把M/N作成R-模，在商群内有加法：
对于 ，我们规定
因为当 时， ．而N是R-子模，所以 ，这就说明 。
在商群M/N上按上面方法定义的R-模称为模M关于子模N的商模，仍使用符号M/N表示这个商模。
相关性质
定理1 设B是R-模，D是B的子模，另有 也是B的子模，且满足 ，则商模B/D与 之间满足 。反之，若已知M是B/D的子模,则一定存在B的子模 ，满足 且有 。
相关概念
定义1
令A，B是R的两边理想，置
即AB是由所有的乘积ab(a∈A，b∈B)生成的加群，易见AB是一个理想，叫作理想A与B之积。
注：
定义2
令C是R的两边理想，则：
(1)说C是R的强素理想： 。
(2)说C是R的素理想： 。
(3)r称为左零因子： 。
类似地，可定义右零因子。
(4)说R中没有零因子： 中不存在左右零因子。
(5)令r∈R， 叫作右逆或左逆，或者叫r的逆元素： ,或者 ，或者。
注：
(1)如果存在右零因子，则一定存在左零因子，反之亦然。
(2)如果 分别是r的左、右逆元：则 。
由定义1易知：
引理1
(1)C是强素理想 C是R的素理想。
(2)如果R是交换的，则(1)之逆也成立。
定理2
令C是R的两边理想，则下述命题成立：
(1)C是R的强素理想 R/C没有零因子。
(2)C是R的素理想 零理想是R/C的素理想。
(3)C是R的两边理想 R/C是单的。
(4)C是R的极大右理想 R/C是体。
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