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巴拿赫定理

数学术语

在泛函分析中，巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。

内容简介
巴拿赫定理(Banach theorem)表明函数的全变差与指标函数的(L)积分之间关系的定理。设f (x)是巨，司上的连续函数，m与M分别为f(二)在压，司上的最小值与最大值，N(y) (m镇y镇M)是方程.fCx)=y的根的个数，称N(户为巴拿赫指标函数，则N(必在[m,M]上(L)可测。
表述
定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量域（实数或复数）上的一个向量空间V，一个函数称为次线性的，如果：
可以很容易证明，V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。
哈恩-巴拿赫定理说明，如果是一个次线性函数，是的子空间U上的一个线性泛函，满足：
那么存在φ到整个空间的一个线性扩张，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：
以及：
扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间
的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。
我们可以把的次线性条件稍微减弱，只需要：
根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。
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