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布里昂雄定理

数学定理

布里昂雄定理(Brianchon theorem)是射影几何的著名定理之一，外切于一个非退化二级曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点，此点称为布里昂雄点。此定理是布里昂雄(C.J.Brianchon)于1806年发现的，它的逆定理也成立，即：若简单六线形的三对对顶点的连线共点，则此六线形外切于一个二级曲线，若给定二级曲线的六条切线，则可得到60个不同的简单六线形。根据布里昂雄定理，每一六线形有一个布里昂雄点，总共有60个布里昂雄点.这60个点所构成的图形，称为布氏构图。布里昂雄定理提供了已知二级曲线上五条切线，用直尺求作这曲线上任意多条其他切线的作图方法，布里昂雄定理与帕斯卡定理是互相对偶的。

定理简史
布里昂雄定理与帕斯卡定理对偶，即将帕斯卡定理中的线换为点，点换为线即可得到：
布里昂雄定理 联结外切圆的六边形ABCDEF的相对顶点的三条对角线AD、BE、CF共点。
布里昂雄(Brianchon，1785-1864)也是法国数学家，他在21岁发现了上述定理。后来他又借助于中心投影，把上述定理推广到所有的圆锥曲线，从而得到一个像帕斯卡定理一样在现代射影几何中起奠基作用的定理，尽管布里昂雄定理与帕斯卡定理可以通过“点”、“线”互换相互导出，但在历史上，布里昂雄定理要比帕斯卡定理晚一百五十余年。
定理证明
寻求布里昂雄定理的初等证明是一个吸引人的难题，苏联数学家斯莫戈尔热夫斯基于1961年成功地解决了这个问题，1981年，日本的矢野健太郎(1912~)给出了另—个初等证明，下面分别给予介绍。
下面的证1是属于斯莫戈尔热夫斯基的，首先我们介绍一个引理。
引理 若P‘’、Q’是在点P、Q处切线上的两点，且在PQ同侧，PP’=QQ’，则存在一个圆与PP’、QQ’分别切于P’、Q’，
证明 作PQ的垂直平分线，则整个圆形关于对称，从而过点P’、Q’的垂线与交于同一点O’，以O’为圆心，O’P’为半径的圆则与PP’、QQ'分别切于P'、Q’，引理得证。
证法1 如图2，ABCDEF是圆外切六边形，R、Q、T、S、P、U为切点，在PF、QB、RB、SD、TD、UF延长线上分别取点P’、Q’、R’、S’、T’、U’，使PP’=QQ’=RR’=SS’=TT’=UU’，由引理存在与PP’、QQ’切于P’、Q’；与RR’、SS’切于R’、S’；与TT’、UU’切于T'、U'，又由切线长定理有AR=AU，DT=DS，所以有AR’=AU’，DS’=DT’，即AD为的等幂轴，同理BE为的等幂轴；CF为的等幂轴，设AD、BE交于O，则O与等幂，与等幂，所以点O也在CF上，即AD、BE、CF交于一点O，从而命题得证。
证法2(矢野健太郎)如图3，联结RS、UT、QP，首先我们证AD、RS、UT交于一点。
过A作AX∥DS交RS于X，AY∥TD交TU于Y，则∠AXR=∠ESR=∠ARX，所以AX=RA，同理AY=AU，又AR=AU，所以AX=AY，设AD与RS交于M，AD与UT交于M'，则，又DS=DT，AX=AY，所以，即M与M’重合，从而AD、RS、UT交于一点M，同理有BE、RS、QP交于一点K，CF、QP、TU交于一点N。
设AD、BE交于O，过O作OW∥DT交TU于W，OV∥DS交RS于V，则OW=OV，过O作OI∥BR交RS于I，OJ∥BQ交QP于J，则Ol=OJ。
又∠OVI=∠RSE=∠ARS=∠OIV，所以OV=Ol，从而OW=OJ。设OC交QJ于N，OC交WT于N’，因为OJ∥QC，OW∥CT，所以，又CQ=CT，所以，即N、N’重合，OC、QJ、WT交于一点N，即有AD、BE、CF交于一点O。
特例推广
首先考虑定理的特殊情况。
当外切六边形某相邻两边重合时，则其顶点变为切点，六边形退化为五边形，这时有
定理1 若五边形外切于圆，则其中一边的切点与相对顶点的连线与另两对相对顶点的连线共点(图5)。
当有两对相邻的边重合时，六边形退化为四边形，这时有
定理2 若四边形外切于圆，则相对边上切点的连线与两对角线共点(图6)；一条对角线与另两个顶点的一个顶点与不相邻一边切点的连线和另一顶点与之对应一边切点的连线三线共点(图7)。
当有三对相邻边重合时，六边形退化为三角形，这时有
定理3 若三角形外切于圆，则每个顶点与对边切点的连线这三线共点(图8)。
下面是它的一个推广。
定理4 若ABCDEF为一圆锥曲线的外切六边形，则AD、BE、CF共点。
定理应用
四边形ABCD为的外切四边形，E、F、G、H为切点(图9)，求证：
(1)AC、BH、DE共点；
(2)BG、DF、AC共点；
(3)AC、BD、HF、GE共点。
证明 (1)将四边形看成六边形AHDCBE的退化情况，由定理2得AC、BH、DE共点P。
(2)将四边形ABCD看成六边形DGCFBA的退化情况，由定理2得BG、DF、AC共点Q。
(3)将四边形ABCD看成六边形AHDCFB的退化情况，得HF、BD、AC共点R。
又将四边形ABCD看成六边形AEBCGD的退化情况，得EG、BD、AC共点R，从而AC、BD、HF、EG共点。
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