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布洛赫函数

固体物理学科术语

布洛赫函数或者称为布洛赫波函数（Bloch （wave）function）是在周期性势场中运动的电子的Schrodinger方程的解。布洛赫函数是一种调幅平面波。布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（1877年），加斯东·弗洛凯（1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程。

定义
在周期性势场中，电子的波函数具有如下的特性：
其中是以晶格的原胞为周期的周期函数：
为正格矢，这种形式的函数为布洛赫函数。
物理解释
布洛赫函数反映了晶体电子运动的特点，即其中的指数部分反映了晶体电子的共有化运动,而其中的晶格周期函数部分反映了晶体电子围绕原子核的运动；它所描述的电子是所谓Bloch电子(晶格周期势场中的电子)，是晶体中的共有化运动的电子，故Bloch电子的状态——Bloch态是扩展态，这对应于能带电子的状态，即能带中的许多准连续的能级状态。
只有晶体中的共有化电子的波函数才具有布洛赫函数的形式，相应电子的能量呈现为能带，而不是能级。而与布洛赫状态不同是局限在某个原子附近处运动的电子的所谓局域态，例如杂质或者缺陷上电子的束缚状态；这种局域的能量状态呈现为能级——束缚能级。这些束缚状态的能量与扩展态的能量无关，故束缚态的能级相对于能带而言，它可以处于能带中的任意位置，即既可以在能带中，也可以在禁带中。例如施主杂质能级、受主杂质能级、复合中心能级、陷阱中心能级、激子能级等这些束缚状态，一般都处于禁带中间。
布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：
这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem），其中 为晶格周期矢量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。
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