帕斯卡分布

统计学术语

帕斯卡分布，负二项分布的正整数形式，描述第n次成功发生在第x次的概率，是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布。

定义

在重复、独立的伯努利试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到出现r(r为常数)次成功为止，以随机变量X表示所需试验次数，则 X是离散型随机变量，其概率分布为：，此时称服从帕斯卡分布。其中p表示每次试验出现成功的概率，而q=1-p，它的期望为，方差为，当r=1时，即为几何分布帕斯卡(Pas-cal , B.)。

曾于1654年与费马(Fermat , P. de)在通信中研讨有关概率问题，他们的研究被认为共同奠定了概率论和组合分析的基础.在他的《算术三角形》一书中，建立了概率论的基本原理和若干重要的组合定理。此分布即由帕斯卡首先引入并载于此书中。

相关公式

若随机变量服从参数为和的负二项分布，则记为

当是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，其概率质量函数为。

它表示，已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第次试验出现第次的概率。

取，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为。

求帕斯卡分布的期望和方差的三种方法：

方法一：用求离散型随机变量数学期望的方法来求帕斯卡分布的数学期望和方差；

方法二：利用幂级数的性质求期望和方差；

方法三：将帕斯卡分布分解为若干几何分布之和。

例子

举例说，若我们掷骰子，掷到一即视为成功。则每次掷骰的成功率是1/6。要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。掷到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变数。要在第三次掷骰时，掷到第三次一，则之前两次都要掷到一，其概率为。注意掷骰是伯努利试验，之前的结果不影响随后的结果。

若要在第四次掷骰时，掷到第三次一，则之前三次之中要有刚好两次掷到一，在三次掷骰中掷到2次1的概率为。第四次掷骰要掷到一，所以要将前面的概率再乘（1/6）：。

应用

某数学家有两盒火柴,每盒都有n根火柴,每次用火柴时他随机地在两盒中任取一盒并从中抽出一根.求该数学家用完一盒时另一盒还有r根火柴的概率。

这个问题就是历史上经典的巴拿赫火柴盒问题，从一盒中取一次火柴视为一次成功试验，从另一盒中取一次火柴视为一次失败的试验,可将问题转化为帕斯卡分布。但是根据不同的假设,会有两个不同的答案。

答案一：

不妨设该数学家能够看到火柴盒里的火柴且甲盒为空，则他一共在此盒里取了n次火柴，在乙盒里取了n- r次火柴，且最后一次取火柴是从甲盒里取出里面最后一根.由于数学家取火柴是随机的，所以从甲盒或乙盒取一次火柴的概率相等，都是12.取火柴问题即为2n- r次重复、独立的伯努利试验中有n次成功， n- r次失败，且最后一次试验是成功的帕斯卡分布问：，由甲、乙两盒的对称性，得： P{用完一盒时另一盒还有r根火柴}=.

答案二：

不妨设该数学家不能看到火柴盒里的火柴且甲盒为空,则他一共在此盒里取了n+ 1次火柴,在乙盒里取了n- r次火柴,且最后一次取火柴是在已空的甲盒里又取了一次但发现已空,没能取到火柴.此问题转化为2n- r+ 1次重复、独立的伯努利试验中有n+ 1次成功,n- r次失败,且最后一次试验是成功的帕斯卡分布问题：，由甲、乙两盒的对称性。得：P{用完一盒时另一盒还有r根火柴}=

同一个问题，会产生两个答案，原因在于对何时火柴盒为空的不同理解上。不论那种答案，都是应用了帕斯卡分布,同时还要考虑两个火柴盒的对称性问题。

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