帕施公理

几何学术语

帕施公理(Pasch axiom)是几何学中关于顺序关系的一条重要公理。设A，B，C是不共线的三点，a是平面ABC上不通过A，B，C中任一点的直线，若a上有一点介于A，B之间，则它必有另一点介于A，C之间或B，C之间。这个公理是帕施(M.Pasch)1882年提出来的，在希尔伯特公理系统中，帕施公理被列为顺序公理组第四个公理。

定义

帕施公理是顺序公理组第四个公理。顺序公理是基本的几何公理之一，指希尔伯特-欧几里得几何系统公理表中的第二组公理，是建立点的位置关系的公理，包括以下四条：1.如果B点介于A和C两点之间，那么A，B，C是一直线上的三个不同的点，并且B也介于C和A之间；2.对于任何不同的A，B两点，在直线AB上至少有一点C，使得B介于A和C之间；3.在一直线上任何不同的三点中，至多有一点介于其余两点之间；4.(帕施公理)设A，B，C是不在同一直线上的三点，a是平面ABC上的一直线，它不通过A，B，C中任何一点，如果a有一点介于A和B之间，那么a必还有一点介于A和C或B和C之间。

顺序公理的1-3称为线形的顺序公理，因为这些是与在一直线上的点有关的缘故，与这些联合的还有第四个，平面的顺序公理，通称“帕施公理”或“帕须公理”等，这是按最初明白地把它公式化的几何学家的名字的，是德国数学家巴斯(M.Path，1843-1930)提出，是证明线段存在内点的主要工具。

帕施公理与西尔维斯特问题

变分方法的一个特征是，它经常导出非常简短的证明，这方面的一个惊人例子是西尔维斯特(J.J.Sylvester)于1893年提出的著名问题：设S是平面上的一个有限点集，且任何经过其中两个点的直线都一定经过其中另一个点，证明这些点都在一条直线上，不论是西尔维斯特还是他的同时代人都没能找到一个证明，过了将近50年，才由加莱(Gallai)发表了第一个证明，但相当复杂。下面这个简短的证明现已广为人知，它是由凯利(L.M.Kelly)于1948年发现的(见《美国数学月刊》(Amer.Math.Monthly)55，P.28)。假设这些具有西尔维斯特所述性质的点不共线，每条经过其中两点的直线L和不在这条直线上的一个点p都组成一个线点对(L，p)，在所有这些线点对中选取一个使得从p到L的距离d为最小的。令q为从p向L所引垂线的垂足。于是(变分)根据假设，在L上至少存在三个点a，b和c。因此其中两个点，比方说a和b，将以a，b，q的顺序位于q的同一侧(c可在任何一侧)，如图1，但这样从b到直线ap的距离d'就小于d，这就产生了一个矛盾。

凯利的证明确实简短——但是，这里有考克斯特(H.S.M.Coxeter)的说法(见《几何学导引》(Introduction to Geometry),Wiley,1961,p.181)：“这件关于共线性的事[西尔维斯特的问题]显然属于序几何。[确实，在复数域或有限域上这个结果不成立！你可以轻易地在环面上发现一个九点的反例。]凯利的欧氏几何式证明涉及外在的距离概念：这好比用一把长柄锤子去砸一个杏仁。真正恰当的坚果钳由下述证明所提供。”

考克斯特的可爱的证明(很高兴这个证明用的也是变分方法)依赖于帕施(Pasch)公理。这条公理以它最简单的形式断言：一条直线不可能只与一个二角形的一条边相遇。(理解这条公理的一个方法是，把它看作若尔当(Jordan)曲线定理的一个非常初等的特例。如果这条直线通过一条边进入这个三角形，那么它必定要穿过另一条边以回到外面来。)这个证明的图与凯利证明的图非常相似，不过这次我们选取的是任意的点p，并找出一条从它出发的射线R，R上没有S中其他点，但至少与一条连接S中点的直线相交，每条这样的直线都与R相交于某点，于是我们可从中选取一条直线L，它与R的交点q距p最近(当然，不是在距离的意义下，而是把它们看作R上的一个序集。也就是说，在p和q之间没有其他交点)，现在(变分)L上一定有两个点a和b，它们位于q的同一侧，我们证明直线ap上不可能有S中的另一个点，有两种情况。

情况1 另一个点y位于a和p之间。于是(如图2)不论c在哪里，将帕施公理应用于三角形apq，直线cy将与R相交于一个比q更近于p的点。

情况2 另一个点x或z不在a和p之间，于是，同前面一样，不是bx就是bz，将与R相交于一个比q更近于p的点，(见图3)。

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