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带权邻接矩阵

表示顶点之间相邻关系的矩阵

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵

定义
邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：
①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且对角线一定为零，有向图则不一定如此。
②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。
③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。
数据特点
无向图的邻接矩阵一定是对称的，而有向图的邻接矩阵不一定对称。因此，用邻接矩阵来表示一个具有n个顶点的有向图时需要n^2个单元来存储邻接矩阵；对有n个顶点的无向图则只存入上（下）三角阵中剔除了左上右下对角线上的0元素后剩余的元素，故只需1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2个单元。
无向图邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度。
有向图邻接矩阵中第i行非零元素的个数为第i个顶点的出度，第i列非零元素的个数为第i个顶点的入度，第i个顶点的度为第i行与第i列非零元素个数之和。
用邻接矩阵表示图，很容易确定图中任意两个顶点是否有边相连。
C语言描述
用一个顺序表来存储顶点信息
int i，j，k，w;
for(i = 0;i ＜ n;i++) //读人顶点信息，建立顶点表
{
G-＞vexs=getchar();
}
for(i = 0;i ＜ n;i++)
{
for(j = 0;j ＜ n;j++)
{
G-＞edges[j] = 0; //邻接矩阵初始化
}
}
for(k = 0;k ＜ e;k++)
{//读入e条边，建立邻接矩阵
G-＞edges[j]=w;
G-＞edges[j]=w;
}
}//CreateMGraph
图表示法
1.图的邻接矩阵表示法
在图的邻接矩阵表示法中：
① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系
② 用一个顺序表来存储顶点信息
2.图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)
设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：
【例】下图中无向图G 5 和有向图G 6 的邻接矩阵分别为A l 和A 2 。
3.网络的邻接矩阵
若G是网络，则邻接矩阵可定义为：
其中：
w ij 表示边上的权值;
∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
【例】下面带权图的两种邻接矩阵分别为A 3 和A 4 。
4.图的邻接矩阵存储结构形式说明
#define MaxVertexNum l00 //最大顶点数，应由用户定义
typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
typedef struct{
VextexType vexs[MaxVertexNum] //顶点表
EdeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
//邻接矩阵，可看作边表
int n，e; //图1中当前的顶点数和边数
}MGragh;
注意：
① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵(顶点表及顶点数等均可省略)。
② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。
③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。
④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n 2 )。
5.建立无向网络的算法。
void CreateMGraph(MGraph *G)
{//建立无向网的邻接矩阵表示
int i，j，k，w;
for(i = 0;i ＜ n;i++) //读人顶点信息，建立顶点表
{
G-＞vexs=getchar();
}
for(i = 0;i ＜ n;i++)
{
for(j = 0;j ＜ n;j++)
{
G-＞edges[j] = 0; //邻接矩阵初始化
}
}
for(k = 0;k ＜ e;k++)
{//读入e条边，建立邻接矩阵
G-＞edges[j]=w;
G-＞edges[j]=w;
}
}//CreateMGraph
该算法的执行时间是0(n+n 2 +e)。由于e
根据图的定义可知，图的逻辑结构分为两部分：V和E的集合。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，称这个二维数组为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。
Matlab表达
N = 4; //图的节点数目
dag = zeros(N,N);//邻接矩阵初始化，值均为0
C = 1; S = 2; R = 3; W = 4;//制定各节点编号
dag(C,[R S]) = 1;//有两条有向边：C-＞R,C-＞S
dag(R,W) = 1;//有向边：R-＞W
dag(S,W)=1;//有向边：S-＞W
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