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常曲率空间

数学术语

广义黎曼空间（M，Gab）称为常曲率空间（space of constant curvature），常曲率空间是欧氏空间的一种直接推广。若一个黎曼流形在每一点沿每一个二维切子空间的截面曲率都是相同的，则称它为常曲率空间。

欧式空间
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
欧氏空间既是几何学的研究对象，又是代数学的研究对象。在几何学中，欧氏空间是满足全部欧几里得公理的几何空间。它的几何是研究几何图形的度量性质和度量不变量的欧几里得几何(简称欧氏几何)，包括普通平面几何和立体几何的全部理论。
欧氏几何空间按维数的不同而有一维欧氏空间(即欧氏直线)、二维欧氏空间(即欧氏平面)和三维欧氏空间(即普通空间，在几何学中也常简称欧氏空间)。在代数学中，欧氏空间是实数域上的一个线性空间，在其中规定了一个称为内积的二元实函数。欧氏线性空间的维数可以是任意的自然数。容易在同维数的欧氏几何空间与欧氏线性空间之间建立直接的联系。在欧氏几何空间中取定一点作为公共的起点，空间每一点就决定一个以该点作为终点的向量。这种向量的全体构成的集合在向量加法和数乘向量的乘法下就是一个线性空间。再以通常向量的数量积作为线性空间中向量的内积，这个线性空间就是一个欧氏线性空间.反之，在线性空间取定基底后，n维线性空间中的向量可以用n元数组作为坐标表示，再把n维欧氏线性空间的向量的坐标看做n维欧氏几何空间中建立了直角坐标系后点的坐标，这样就在n维欧氏线性空间的向量和n维欧氏几何空间的点之间建立了一一对应，并且当取后者的坐标原点作为公共的起点，由后者的每个点作为终点所决定的向量，其坐标正好与前者的对应向量的坐标相同，由其数量积所确定的欧氏线性空间，也与前者完全合一。
设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α，β)，它具有以下性质：
(1)(α，β)=(β，α)
(2)(kα，β)=k(α，β)，
(3)(α+β，γ)=(α，γ)+(β，γ)，
(4)(α，α)≥0，当且仅当α=0时(α，α)=0.这里α，β，γ是V中任意的向量，k是任意实数。这样的线性空间V叫做欧几里得空间，简称欧氏空间。
黎曼流形
黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称(M，g)为一个n维黎曼流形，g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量，如果满足：
1.g是对称的，即：
g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈TpM，p∈M).
2.g是正定的，即：
g(X，X)≥0 (X∈TpM，p∈M)，
且等号仅在X=0时成立。
简单地说，黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。
详细概念
常曲率空间是欧氏空间的一种直接推广。若一个黎曼流形在每一点沿每一个二维切子空间的截面曲率都是相同的，则称它为常曲率空间。若(M，g)是有常截面曲率c的空间，则它的曲率张量为：
R(X，Y)Z=-c{g(X，Z)Y-g(Y，Z)X}，
R(X，Y，Z，W)=-c{g(X，Z)g(Y，W)
-g(X，W)g(Y，Z)}.
若(M，g)是常截面曲率c的完备、单连通n维黎曼流形，则当c=0时，(M，g)等距同构于R；当c>0时，(M，g)等距同构于R中半径为1/的球面；当c<0时，(M，g)等距同构于R中的开球：
并带有黎曼度量：
需要指出的是，无论c的符号如何，上述度量的截面曲率总为常数c，这是黎曼于1854年在他的奠基性论文中已经阐述的事实。对于R中半径为1/的球面S，当S-{(0，…，0，1)}在关于该点的球极投影下映为R时，球面S上的诱导度量便写成上面的表达式。
性质与应用
常曲率空间具有最高对称性，其等度规群（可能只是局部群）的维数（亦即独立Killing场的个数）是n（n+1）/2，其中n是空间维数。
研究常曲率空间 中 的 一般紧致子流形，通过计算常曲率空间中紧致子流形的第二基本形式长度平方的Laplacian，削减条件“具有平行平均曲率向量”或“极小”，给出常曲率空间中的紧致子流形是全测地子流形的充分条件，推广和改进常曲率空间中全测地子流形的外围空间。
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