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幂级数解法

数学术语

幂级数解法是求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如: 贝塞尔方程、勒让德方程。

一阶方程
基本方法
求
满足初始条件 的特解，其中
我们假设所求的特解可展开成 的幂级数：
其中， 是待定系数，把上式代入 中便得一恒等式，比较所得恒等式两端的同次幂的系数，就可定出常数 ，以这些常数为系数的级数在其收敛区间内就是方程 满足初始条件 的特解。
例题解析
例1 求方程 满足 的特解。
解 由于 ，故设特解为
把 的幂级数展开式代入原方程，得
比较x同次幂系数，得
故所求解的幂级数展开式的前几项为
二阶方程
定理
若方程 中的系数P(x)与Q(x)可在 内展开为x的幂级数，则原方程必有如下幂级数解
求解方法
设解为，将P(x)，Q(x)，f(x)展开为的幂级数，比较恒等式两端x的同次幂系数，确定x。
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