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幂运算

高等数学名词

幂运算是一种关于幂的数学运算。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

教学内容
技能要求
掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
主要数学能力
1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。
2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。
学习指导
1．同底数幂的乘法：
同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下五个问题：
（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：
(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数
（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+... (m, n, p都是正整数)。
（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：
；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，
如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5
解：(1) A×Α^2×A^3 分析：①(- )就是(- )1，指数为1
=A^（1+2+3） ②底数为- ，不变。
=A^6 ③指数相加1+2+3=6
= ④乘方时先定符号“+”，再计算 的6次幂
解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5 分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂
=-a（4+3+5）
=-(-a)12
②本题也可作如下处理：
-a4·(-a)3·(-a)5
-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)
=-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12
例2．计算(1) (x-y)^3(y-x)(y-x)^6
解：(x-y)^3(y-x)(y-x)6 分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂
=-(x-y)^3(y-x)(y-x)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6
=-(x-y)（3+1+6 ）变为(x-y)为底的同底数幂，再进行
=-(x-y)10计算。
例3．计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4 分析：①先做乘法再做减法
=x（5+n-3+4）-3x（2+n+4 ）②运算结果指数能合并的要合并
=x（6+n）-3x（6+n） ③3x2即为3·(x2)
=(1-3)x6+n ④x 6+n，与-3x6+n是同类项，
=-2x 6+n合并时将系数进行运算(1-3)=-2
底数和指数不变。
2．幂的乘方(a^m)^n=a^(mn)，与积的乘方(ab)^n=a^nb^n
(1)幂的乘方，(a^m)^n=a^(mn)，(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点：
①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3的底数为(x+y)，是一个多项式，
[(x+y)2]3=(x+y)6
②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：
(a3)4=a7； [(-a)3]4=(-a)7； a3·a4=a12
(2)积的乘方(ab)^n=a^nb^n，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：
①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。
②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3如(a1·a2·…….an)m=a1m·a2m·…….anm
例4．计算：①(a2m)n②(am+n)m ③(-x2yz3)3 ④-(ab)8
解：①(a2m)n分析：①先确定是幂的乘方运算
=a(2m)n ②用法则底数a 不变指数2m和n相乘
=a2mn
②a（m+n)m分析：①底数a不变，指数(m+n)与m相乘
=a（m+n)m
= ②运用乘法分配律进行指数运算。
③(-x2yz3)3 分析：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3
=(-1)3(x2)3y3(z3)3分别3次方
=-x6y3z9 ②注意(-1)3=-1, (x2)3=x（2×3） =x6
④-(ab)8 分析：①8次幂的底数是ab。
=-(a8b8) ②“-”在括号的外边先计算(ab)8
=-a8b8再在结果前面加上“-”号。
例5．当ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。
解：∵(ambm)n 分析：①对(ab)n=anbn会从右向左进行逆=[(ab)m]n 运算 ambm=(ab)m
=(ab)mn②将原式的底数转化为ab，才可将ab
∴ 当m=5, n=3时， 代换成 。
∴ 原式=( )5×3( )15应将 括起来不能写成 15。
=( )15
例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。
解：-5a6b4 分析：a6b4=(a3b2)2
=-5（a3b2）2 应用(ab)nanbn
=-5(15)2
=-1125
例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。
解：8m·4n 分析：①8m=(23)m=23m
=(23)m·(22)n4n=(22)n=22n=23m·22n ②式子中出现3m+2n可用6
=23m+2n 来代换
=26=64
3. 同底数幂的除法：
（1）同底数幂的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均为正整数，并且m>n)
①同底数幂的除法是整式除法的基础，要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这里底数a是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了。又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又规定m>n。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。
②同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于1，即am÷an=1,m是任意自然数。a≠0, 即转化成a0=1(a≠0)。
③同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即m-n<0时，指数部分为负整数则转化成负整数指数幂，再用负整数指数幂法则。
④要注意和其它几个幂的运算法则相区别。
⑤还应强调：am·an=am+n与am+n÷an=am的互逆运算关系，同时指数的变化也是互逆运算关系，应沟通两者的联系。
（2）零指数：a0=1 (a≠0)
①条件是a≠0，00无意义。
②它是由am÷an=am-n当a≠0，m=n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数与除式的指数相等时即转化成零指数幂，它的结果为1。
（3）负整数指数幂：a-p= (a≠0, p是正整数）①当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义。
②它是由am÷an=am-n当a≠0, m负指数幂。a-p结果为ap的倒数，也就是说一个不为零的数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，也可以等于这个数倒数的正整数指数幂，即a-p=( )p (a≠0,p为自然数）
法则口诀
同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；
同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方；
幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方
分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变。
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