幂集

集合论概念

所谓幂集（Power Set），就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。可数集是最小的无限集；它的幂集和实数集一一对应（也称同势），是不可数集。不是所有不可数集都和实数集等势，集合的势可以无限的大。如实数集的幂集也是不可数集，但它的势比实数集大。设X是一个有限集，|X| = k，根据二项式定理，X的幂集的势为2的k次方。

定义

设有集合A，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作2A，即：2A={S|S⊆A}。

概念

幂集是集合的基本运算之一。由集合的所有子集构成的集合。对任何集合a，a的幂集P(a)={x|x⊆a}。在ZFC公理系统中，幂集公理保证任何集合的幂集均为集合。如P({a，b})={∅，{a}，{b}，{a，b}}.P(·)称为幂集运算。

相关定理

康托尔定理为|2A|＞|A|。

历史背景

康托第一个认真研究了无限集合，分清了可数集和不可数集的区别，并用对角线法证明了实数集不是可数集。此外，康托指出了幂集的势总是严格大于原集合。由此结论导致了康托猜想（即连续统假设）和康托悖论。

幂集基数

设集合A是有基数Card（A）的有限集（可数集），则Card（2A）=2(Card(A))。

如集合B={a,b}，得2B={Ø,{a},{b},{a,b}}。那么Card（2B）=2(Card(B))=22=4，显然上述公式是正确的。考虑特殊情况空集合Ø的幂集：空集合Ø仅有子集Ø，得到2Ø={Ø}。

康托猜想

不存在一个集合，它的势严格大于可数集的势，同时严格小于实数集的势。

逻辑学家歌德尔证明了这个连续统假设是不能被证明的，也不能被证伪--就是说不能从现有的数学公理体系推演出该结论或者否定该结论。

康托悖论：考虑所有的集合组成的最大的集族，这个集族的幂集当然也是集合，所以本身也是该集合的一部分，从而它的势应该不超过原集合的势；但是另一方面，幂集的势又严格大于原集合的势，从而导致矛盾。

罗素首先意识到集合的概念存在问题。他提出所谓的类型论，指出有一类“集合”并不是真正的集合，而是所谓的“类”，集合本身是不能包含自身的；“类”却可以。从这个角度出发，就可以解释上述的悖论。

康托尔

来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。

其实只要证明(0,1]区间的实数集是不可数的。如果它是可数的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。这时将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：

t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...

t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...

...

tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...

...

其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。

但是我们可以构造一个小数a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。

当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。所以，只能说明实数是无法跟可数集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。

因此[0, 1]区间的实数不是可数集。同样，取掉0，1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可数集。

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