平稳函数

数学术语

平稳函数(stationary function)是变分法中的一个概念。满足欧拉一拉格朗日方程的函数称为平稳函数或平稳点。

概念

平稳函数(stationary function)是变分法中的一个概念。满足欧拉-拉格朗日方程的函数称为平稳函数或平稳点，而它相应的图象称为平稳曲线(一个变量)或平稳曲面(二个变量)。泛函(变分积分)在平稳函数取的值称为平稳值。

变分法

亦称变分学，研究泛函极值的一门学科。变分法主要研究泛函的变元函数使泛函达到极值的必要条件和充分条件，并研究求得该变元函数的方法及其性质。变分法的研究方法有直接法与间接法。直接法是直接由泛函去求得极值或判断相应极值问题是否有解；而间接法是先给出泛函达到极值的必要条件：欧拉-拉格朗日方程(亦称为欧拉方程)，然后在满足欧拉-拉格朗日方程的解中，利用各种充分条件来判断变分问题是否有解。

变分法的历史可追溯到古希腊，那时就有了所谓等周问题：在长度一定的封闭曲线中，找出围出最大面积的一条封闭曲线。另一著名的问题即最速落径问题是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的。但对变分法实质性研究还是从1696年，约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公开向欧洲数学家给出该问题的解开始，洛必达(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、约翰第一·伯努利、莱布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛顿(Newton，I.)用了不同的方法解决了这个问题。后来欧拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)对这一类问题的研究奠定了变分法的理论基础。变分法这一名词由拉格朗日首次提出来，一直沿用下来。

人们研究变分法，是因为社会和自然诸多领域都存在变分原理的实际背景.社会追求效益，投入一定时，希望产出最大;或产出一定时，希望投入最小。某些现象中，自然也依最简单最有效的方式运行。牛顿在《自然哲学的数学原理》中写到：“自然不做任何徒劳无益的事情，浪费愈多，服务愈少。自然喜欢简单性而不为浮华所动”.现代科学早期就依最优原理表达某些自然规律。这一原理看来在一定程度上反映了宇宙的先验的和谐性，特别吸引那些为知识的统一性和简单性而奋斗的科学家。事实上，确实有许多自然规律可用极值原理来表达。第一个发现这种类型的原理是公元前100年，亚历山大的海伦(Heron，(A))提出的，他用光总走最短路径解释光的反射定律.1662年，费马(Fermat，P.de)从光总是依最快的路径从一点传播到另一点这一假设推导出光折射定律。这一假设称为费马原理。大约80年后，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普鲁士科学院院长)断言，如果自然发生了什么变化，那么对这一变化所付出的作用量必然是最小的。莱布尼茨对作用引进量纲是“能量×时间”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，这个量是基本量子h的整数倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏尔泰(Voltaire)的无情嘲讽。这或许使得拉格朗日将1788年的“分析力学”建立在达朗贝尔原理的基础上而非最小作用原理的基础上，尽管他早在1760年对这一原理已有了相当明确的一般数学提法。很晚以后，哈密顿(Hamilton，W.R.)和雅可比才给这一原理以令人满意的形式，大概是亥姆霍兹(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理规律的行列。20世纪前半期，物理学家主要热衷于用空间时间微分方程描述自然规律，最小作用原理又明显回潮。

古典变分法已有近300年的历史。微积分创立不久，变分法便开始发展.赢得国际声望的研究首先是约翰第一·伯努利1696年解决了最速落径问题。他和他的哥哥雅各布第一。伯努利(Bernoulli，Jacob Ⅰ)是这一新领域的奠基者，虽说莱布尼茨、牛顿、惠更斯(Huygens，C.)、洛必达也都有不俗的贡献。在欧拉和拉格朗日的手里，变分法成了解答许多物理和几何问题的灵活有效的理论。变分法的第一阶段，人们推导变分问题的最大或最小函数满足的必要条件，比如欧拉方程。欧拉用折线逼近曲线的一种粗放方法导出它，而拉格朗日则用高雅的变分导出它，欧拉随即把这一学科命名为变分法。在变分法发展的初期阶段，保证欧拉方程的解具有极小性的充分性条件尚未涉及，只有约翰第一。伯努利1718年的一篇文章例外，但该文在近200年中被忽视。

充分性问题首次在勒让德(Legendre，A.-M.)1788年的文章“Sur la maniere de distingues les maxima des minima dans le calcul des variations”(关于区分变分法中的极大和极小)中被系统研究。勒让德在该文中用二阶变分处理这一问题。尽管拉格朗日在1797年指出了该文的一些错误，但雅可比1837年重新探讨这一问题时发现该文的思想是富有成效的。雅可比在其短文“Zur Theorie Variations-Rechnung und der Defferential-Gleichungen”中概述了二阶变分的理论，其中包括他的著名共轭点理论，但所有的结果只有叙述而本质上没有证明。这需要整整一代的数学家添补细节。高斯(Gauss，C.F.)首先在1830年的文章“Principia generalia theoriae figure fluidorum in statu aequilibrii”中考虑了自由边界问题，继而有泊松(Poisson，S.-D.)、奥斯特罗格拉茨基(Остороградский，М.В.)、德洛内(Delaunay，C.E.)、萨鲁斯(Sarrus，P.F.)和柯西(Cauchy，A.-L.).施依佛(Scheeffer，L.)和外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))发现使二阶变分具有正定性的平稳函数一般只取弱极值，即只是在切线很接近的曲线之间比较而言的极值。为研究强极值充分条件，外尔斯特拉斯在1879年建立了场论，把平稳曲线嵌入到适当的平稳曲线场，这大大简化了平稳曲线与邻近曲线的比较。

变分法理论的发展与力学、光学、弹性理论、电磁学等学科密切相关。同时变分法的理论成果又能应用到这些学科。现代变分法在各学科的应用愈来愈广，并发展成为优化和最优控制理论。

泛函

由一个或几个函数确定其值的因变量。泛函表示的关系是因变量与自变函数之间的关系，因此，有人称泛函是 “函数的函数”。例如，梁的应变能是以梁的挠度函数y (x) 为自变函数的泛函n [y (x)]。工程力学中许多问题可以化为泛函的极 (驻) 值问题来求解。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省