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平行四边形

一种数学平面几何图形

平行四边形（英文：parallelogram）是在同一平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
性质
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（可简记为“平行四边形的对边相等”）
（2） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（可简记为“平行四边形的对角相等”）
（3） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（可简记为“平行四边形的对角线互相平分”）
（4） 夹在两条平行线之间的平行四边形的高相等（平行线间的距离处处相等）
（5） 同底（或等底）且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
（6） 平行四边形的面积是其两条邻边和夹角所对的对角线构成的三角形的两倍。
（7） 同底（或等底）等高的三角形面积相等。（由（5）和（6）推出）
（8） 平行四边形的面积等于底和高的积。（推论：平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦值的乘积）
（9） 平行四边形的对角线将平行四边形划分为4个面积相等的三角形。（推论：平行四边形的面积等于两条对角线与其夹角正弦值的乘积的二分之一）
（10） 平行四边形的对角线所在直线平分该四边形。
（11） 所有的平行四边形都是中心对称图形，对称中心为平行四边形对角线交点。
（12） 大部分平行四边形不是轴对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。（注：矩形、菱形和正方形是特殊的平行四边形）
（13） 任意一条过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形。（性质（10）的推论）
（14） 平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和
（15） 任意四边形的中点四边形是平行四边形。（中点四边形是顺次连接各边中点所得到的四边形）
（16） 平行四边形的周长是2(a+b)，其中a和b是平行四边形相邻两边的长度。
（17） 平行四边形有不稳定性，易变形。
判定
（1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）
（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（4） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（5） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（6） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（等腰梯形也满足此条件）
特殊的平行四边形
矩形
定义：一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：（1）矩形有平行四边形的所有性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的对角线相等。（推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。）
（4）矩形既是轴对称图形也是中心对称图形。矩形有两条对称轴，分别是其对边中点连线所在的直线。
（5）矩形大定理：若P是矩形ABCD所在平面上一点 ，那么PA2+PC2=PB2+PD2
判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。
（2）四个角都是直角的四边形是矩形。
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：（1）菱形有平行四边形的所有性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形既是轴对称图形也是中心对称图形。菱形有两条对称轴，分别是其对角线所在的直线。
判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
正方形
定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。正方形既是矩形又是菱形。
性质：（1）正方形有矩形和菱形的所有性质。
（2）正方形的两条对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形。
判定：（1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）一个角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
平行四边形的应用
几何定理的证明
（1）中位线定理
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
证明：如图2，在ABC中，D、E分别是边AB、AC中点，下面证明DE∥BC,DE=BC。
延长DE至F使得DE=EF，连接CF
∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AD=DB,AE=EC
∵DE=EF,AED=FEC
∴AEDCEF(SAS)
∴AD=DB=FC,A=FCE,DE=EF
∴DB‖CF,DB=CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DE‖CF,DE=DF=BC
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边一半
证明：如图3，在ABC中，∠B=90°，E是AC的中点，下证BE=AC。
延长BE至D使得BE=ED
∵E为AC中点
∴AE=EC
∵∠AEB=∠DEC
∴AEBCED
∴AB=CD,∠ABE=∠EDC
∴AB‖CD,四边形ABCD是平行四边形
∵∠B=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
∴AC=BD,BE=BD=AC
（3）中线定理
定理内容：如图4，在ABC中，AD为BC边上中线，则有。
延长AD至E使得AD=DE
∵D为BC中点
∴BD=CD
证明：∵∠ADB=∠EDC
∴ADBEDC(SAS)
∴AB=CE,∠ABD=∠ECD
∴AB‖CE,四边形ABEC是平行四边形
由性质（13）知，
又∵BC=2BD,AE=2AD
∴代入得
综合(1)(2)(3)，我们可以知道，关于三角形的中线问题，可以通过倍长中线构造平行四边形，再利用平行四边形的性质解决问题。
矢量的加减运算
定义：既有大小又有方向的量叫做矢量。
矢量的加减运算满足平行四边形定则。对于矢量a、b，c=a+b表示将矢量a、b分别平移使其起点重合，以矢量a、b为邻边构造平行四边形，连接夹在矢量a、b之间的对角线即表示矢量c（如图5）。由此我们定义了矢量的加法运算。
定义矢量(-b)表示长度与b相同，方向与b相反的矢量。由此可以将矢量减法运算转化成加法运算，即矢量a-b表示矢量a与(-b)通过平行四边形定则合成得到（如图6）。
如果把矢量a、b放在三维空间的坐标系中，a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2)（起点都选在坐标原点），那么由平行四边形定则和平移的性质，可以得到a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)（如图7）。这种变换是线性变换。并且从各坐标分量可以看出，矢量的加法符合交换律和结合律，即：
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