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平行弦

数学术语

平行弦(parallel chords)一般指圆内有特殊位置关系的两条弦，指圆中的两条平行弦，它们所夹的弧相等。此外还有二次曲线的平行弦和二次曲面的平行弦，二次曲线的一组平行弦中点所在的直线，叫做这条二次曲线的共轭于这组平行弦的直径。二次曲面的平行弦中点所构成的平面叫做这个二次曲面的共轭于这组平行弦的径面。

圆的平行弦
平行弦一般指圆内有特殊位置关系的两条弦，指圆中的两条平行弦，它们所夹的弧相等，反之，在同圆中，若两弦所夹的圆弧相等，则此两弦为平行弦，或者说连结圆中二等弧端点的不相交的弦是平行弦。
例 求半径为R的圆内平行弦长度L关于它与平行直径距离的平均值。
解 取圆心为坐标原点，垂直于平行弦的直线为x轴，建立直角坐标系如图1所示，则圆周的方程为
根据对称性，我们可以只考虑右半圆，即x>0的情况， ，对应于该点的弦AB之长为
所以其平均值为
注 对于求具体函数在具体区间上的平均值问题，由于函数明确、区间也明确，所以应该是没有什么歧见的。
但是对于求解此类应用题时，我们一定要搞清楚什么是自变量，这样也就能够正确地确定出所在区间以及函数关系，否则结论将会大相径庭。
例如，我们同样求半径为R的圆内平行弦长度L的平均值，但是若求的是关于它对圆心张角θ的平均值，则由于(也只考虑右半圆)
所以其平均值为
二次曲线的平行弦
定理 二次曲线的平行弦中点在同一条直线上。
定义 二次曲线的一组平行弦中点所在的直线，叫做这条二次曲线的共轭于这组平行弦的直径(也叫这组平行弦的共轭直径)，简称二次曲线的直径。而这组平行弦，叫做这条直径的共轭弦。平行弦的方向，叫做与其共轭的直径的共轭方向。
显然，二次曲线的直径平分它的一组共轭弦。
(1) 椭圆的平行弦中点的轨迹是椭圆的一条直径(所谓椭圆的直径，指椭圆的过中心的弦)。
(2) 双曲线的平行弦中点的轨迹，或是过中心的直线；或是过中心的直线上两条关于中心对称的射线。
(3) 抛物线的平行弦中点的轨迹，是平行于抛物线对称轴的一条射线。
二次曲面的平行弦
当直线和二次曲面相交时，除直线全部在二次曲面上以外，交点不能多于两个。我们把这两个交点所连的线段，称为二次曲面的弦。二次曲线的任一组平行弦的中点在一直线上，正因为如此，我们就把二次曲线平行弦中点的轨迹叫做二次曲线的直径。二次曲面上所有平行弦中点的轨迹是一个平面，我们把这个平面称为二次曲面的径面。
二次曲面的平行弦中点所构成的平面叫做这个二次曲面的共轭于这组平行弦的径面，而这组平行弦叫做这个径面的共轭弦。平行弦的方向，叫做这个径面的共轭方面。
显然，二次曲面的径面，平分它的共轭弦。
定理 有心二次曲面的径面都过曲面的中心。
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