平面应力

物理类名词

平面应力，只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。

简介

在力学分析问题过程中，随处可见平面应力和平面应变的概念分歧，平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。

非局部平面应力问题界定及其精确性

在非局部弹性理论框架下对平面应变和平面应力状态重新界定.首先，分别在其相应简化假设下推导控制方程，并与经典局部情况进行比较.然后，引入变形协调条件对两类非局部平面问题的精确性进行讨论.其中，对于非局部平面应力状态，通过应变协调方程的Fourier变换形式来进行研究，使问题得以简化。

平面应力状态

在非局部弹性理论中，物体中各点对所受外力的响应表现为非局部形式，因此平面应力状态定义如下:与z方向有关的非局部正应力及剪应力分量tz=txz=tyz=0，且其余分量tx，ty，txy仅与x，y相关而与坐标z无关。

本构方程:在局部状态下，通常通过限制z向的尺寸来保证各局部应力及应变分量与厚度方向的影响无关，使其为一个近似的二维问题，但对于非局部情况，物体内部微观结构间z方向长程相互作用将通过非局部核函数表现出来，可以证明此时由于非局部核函数的影响，除非局部应力分量tx，ty，txy外，其它所有不为零的局部应力、应变、位移分量均必与z有关，表现为三维场量。由于非局部核函数的作用非局部平面应力状态下的控制方程要考虑z方向的影响。

局部平面问题精确性

导致非局部平面应力问题解出现上述不协调性的根本原因，在于控制方程中非局部核函数要考虑z方向长程作用，使得各局部应力分量均与坐标z相关，这与平面应力状态基本假设即各非局部应力分量与z无关相矛盾，最终导致应变协调方程彼此不相容，在基本假设下，得不到适定的精确解，使非局部平面应力问题只能是一个近似问题。综上所述，此时非局部平面应力问题解的不精确性主要是由于在控制方程中引入非局部效应而引起的，这与经典平面应力问题有着本质上的区别.因此，为保证得到与非局部平面应力状态前提假设相容的精确解，可对z向尺寸进行限制，使非局部核中z方向的长程相互作用可忽略，则各局部分量均与z无关应变协调方程与局部情况下相同，其Fourier变换形式中由z方向非局部作用导致的不协调现象也将自动消除应变协调方程彼此相容，由非局部效应影响所产生的解的不适定性也将消失.此时非局部平面应力问题和经典理论中平面应力状态一样，成为一个二维问题。而由应变协调条件分析可知，由于平面应力问题自身的特点，此时位移解仍具有最高为z平方量级的不精确度，仅对厚度很小的问题可以保证其精度。但考虑到非局部核反映的是物体内部微观尺度的长程相互作用，如其忽略z方向的影响，说明此时z向的尺寸即使在微观上也极小，在宏观上完全可以不计，解的精度完全可以保证。

平面应力条件下轴对称拉深成形法兰区起皱

分别采用平面应力和平面应变假设条件，对轴对称拉深成形法兰区的应力分布进行了分析比较，两种情况下的径向应力计算值相差较小，但周向应力计算值相差较大。有限元模拟表明，平面应力条件下得到的解析结果与模拟值非常接近，表明平面应力假设条件比平面应变假设条件更接近于实际情况。在平面应力条件下，建立了轴对称成形法兰区起皱失稳条件和圆筒形件破裂失稳条件，导出了临界压边力的计算式。

平面应力假设条件下应力应变解析求解

对于轴对称成形平面问题，李敏华利用参数解法进行分析，给出了直接采用数值积分的求解方法，并得到了解析解。这种方法克服了早期学者如Nadai、Millenson、Handelman等给出的需反复迭代才能得到解析解的方法。将该方法用于冲压成形问题或其他轴对称塑性成形问题的分析中。

寻求法兰区应力的解析解是进一步分析轴对称拉深成形问题的基础。由于拉深过程中法兰区最外缘的金属最厚，这样在其他区域作用的压边力和厚度方向作用的力较小，当不考虑摩擦时，法兰区接近平面应力状态。

理论分析与有限元模拟结果的比较

应力分布有限元模拟值和理论计算值对比，拉深位置Rw/R0分别为0.950、0.850、0.750，其中径向应力大于0，周向应力小于0。

因接近凹模口的板坯受到弯曲的影响，故只分析比较相对位置ρ/R0不小于0.68的变形质点。

通过对比可知，采用平面应力假设得到的结果与有限元模拟结果非常接近。在平面应力假设条件下，法兰外缘相对位置Rw/R0分别取0.950、0.850、0.750时，周向应力最大相对误差分别为6.31%、2.21%、6.59%，径向应力最大相对误差分别为0.20%、1.57%、3.89%，最大相对误差产生在法兰的内缘。图2中误差较小的曲线（径向）几乎重合。

采用平面应变假设与平面应力假设得到的径向应力差别不大，但周向应力相差较大。所以，在对破裂问题进行分析时，可以采用平面应变假设，而在进行压边力的计算及起皱失稳的预测时，应尽量采用平面应力假设条件。

结论

（1）对轴对称拉深成形问题进行了研究，分析比较了平面应力假设和平面应变假设条件下得到的法兰区应力分布情况，结果表明两种假设条件下得到的径向应力计算值相差较小，而周向应力相差较大。

（2）平面应力假设条件的分析结果与有限元模拟结果较一致，表明平面应力假设条件更接近于实际情况。

（3）根据能量法原理，给出了平面应力假设条件下的起皱失稳条件，导出了起皱临界压力的计算式。根据破裂稳条件，导出了破裂临界压边力的计算式。对一具体的拉深成形问题绘制了临界压边力与拉深位置的关系曲线。

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