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平面把

空间图形

平面把(bundle of planes)亦称平面丛，是一种空间图形，空间一定点的所有平面组成的集合称为平面把。这个定点称为平面把的中心，另一种平面把是平行于同一条直线(或说此直线的方向)的全体平面的集合，在把方向看做它所指的无穷远点后，不妨认为这种平面把是通过同一个无穷点的全体平面的集合。

平面把的定义与方程
通过一点的所有平面的集合称为平面把，这一点称为平面把的中心。
具有一共同性质的所有平面的集合，称为平面族。通过一定点的所有平面的集合称为平面把，定点称为平面把的中心；通过一定直线的所有平面的集合称为平面束，定直线称为平面束的轴，平面把与平面束又统称为平面族。
容易证明， 以一点 为中心的平面把方程为
其中A、B、C是不全为零的任意数。
设方程
表示三个相交于一点的平面，则方程组(2)有唯一解，所以
关于平面把的定理
如果平面把的中心是(2)所表示的三个平面的交点，则有下面的定理。
定理 以三个相交于一点的平面(2)的交点 为中心的平面把的方程是
其中λ、μ、v为不同时为零的任意数。
证明： 1)方程(4)可改写为
(5)中x、y、z的系数不全为零， 否则得
这和假设矛盾，故(5)表示一个平面。
2) 这个平面显然通过三平面的交点 。
3) 设π是通过三平面(2)的交点 的任意一个平面，它的方程为
因为 是三平面(2)的交点，故(2)可改写为
即
若平面π可用(8)表示，则
因为
故由(9)可唯一确定 ，并且 不全为零，否则A=B=C=0，以解得的 的值代入(8)，得到的方程就表示平面π。
从以上讨论可知，(4)是 以 为中心的平面把方程。
有一些求平面方程的问题，利用平面束或平面把的方程来解，比较方便。
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