平面网络

网络的类型

平面网络（planar network）是网络的一种类型，将网络结构画在平面上，总能使各条支路除了端点以外，不与其他支路相交，这种网络称为平面网络。实际电路，甚至非常复杂的电子线路，通常也都能用平面网络表示，而网络分析的许多定理和分析方法，都是针对平面网络的，甚至有些分析方法，比如网孔电流分析法，只能适用于平面网络。

基本介绍

根据网络的定义，网络既可以是平面上的图形，也可以是空间的图形。例如：四面体的棱及顶点所构成的网络就是一个空间网络，立方体的棱及顶点所构成的网络也是一个空间网络，如图1。

在许多情况下，空间的网络可以“置放”于平面上，或者说可以由弹性变形（同胚映射）使它成为一个平面网络。例如图1中的四面体和正方体的棱及顶点所构成的网络就与图8中的平面网络是同胚的。

定义1一个空间网络若能拓扑等价于某个平面网络，则称它为可平面的，否则称为不可平面网络（或非平面网络）。

例如图3所示的空间网络是可平面的，其中图3（a）是空间网络，图3（b）是相应的平面网络。

特别指出：一个网络是否可平面，这是一个拓扑性质。网络的可平面性有广泛的实用意义，如电力工程、无线电或电视机的标准线路的设计，都是用金属箔片在纸板或塑胶底板上印出线路。为了适用，线路应用平面表示法，否则两条边交点将产生系统内的短路。并非所有的空间网络都是可平面的，在介绍两个著名的非平面网络例子之前，我们先介绍约当定理。

相关性质

定义1 任一条同胚于圆周的曲线称为简单闭曲线。

定理1（约当定理）平面上任一简单闭曲线分平面为两部分（内部与外部）。

这条定理就是说如果沿着这一条简单闭曲线把平面剪开，结果平面被分成了两块，一块是有界的内部，一块为外部。直观地看，这个定理是正确的，长久以来都认为是无须证明的事实。约当是第一个陈述这条定理的人，并指出需要证明。这条定理的证明有很多条件，且都不是很简短的。约当定理是一条拓扑定理，即不牵涉到长度、角度和面积等度量性质的定理，我们在此不证明它。

在平面上定理1的推广形式为如下定理：

定理2 平面上有连接两个已知点P和Q的K条折线，且每两条折线都没有其他的公共点，则平面被分为K个部分。

对于一般平面网络而言，网络的弧也将平面划分成若干个部分。设A是某一平面网络，一般来说，这个网络可以以不同的方式分布在平面上。例如图3所示，这是同一个网络的三种不同分布方式，不同分布的网络之间是同胚的。

从图上可以看出：虽然该网络以不同的方式分布在平面上，但不同分布的网络把平面分成的部分数是相同的，都是将平面分成了4个部分。平面网络将平面划分的部分数目是不依赖于这网络在平面上的不同分布的，即该数目在同胚映射下保持不变，是网络的拓扑不变量。为此，引入网络的面的概念。

定义2 平面网络将平面划分的每一个部分称为网络的面。

根据以上讨论可知，网络的面数是网络的拓扑不变量。

下面我们用约当定理来说明两个典型的网络是非平面网络。

例1 图4给出一个水、电、气供给网络图，其中，分别代表水、电、气供给点，为三个使用水、电、气的用户，记该网络为。

我们不妨试着将这个网络变形（弹性运动）为平面网络。该网络共有9条弧，首先取出如下路径

这是一条闭路径，是由6条弧围成的一条简单闭曲线。根据约当定理，该闭路径将平面划分成两个部分，即内部和外部，如图5所示。剩下的3条弧，可以把一条弧放入闭曲线的内部，另一条弧放在其外部，而第三条弧既不能放在内部，也不能放在外部，即无论如何不能放于平面上了，否则就与其他弧相交了。这说明网络不能通过同胚映射（弹性变换）成为平面网络，为不可平面网络。

网络也称为完全二分网络图，记作。一般的，如果网络的顶点分为两组

其中组A的每个顶点都与组B的每个顶点有一条弧连接，而组A和组B内的每个顶点都没，有弧连接，则该网络称为完全二分网络图，记作。如表1所示的部分完全二分网络图，显然它们都是可平面网络。

例1表明：完全二分网络是一个不可平面网络。当时，完全二分网络包含了不可平面网络（子网络），则网络也一定是不可平面网络。更一般的，如果一网络包含了不可平面网络作为其子网络，则该网络一定是不可平面网络。

例2 设有5个顶点的网络，其中每个顶点都与其他4个顶点有一条弧连接，如图6所示，称该网络为5点完全网络，记此网络为。用例1类似的方法，我们不妨试着将这个网络变形（弹性运动）为平面网络。该网络共有10条弧，首先取路径：1-2-3-4-5-1，这是一条闭路径，是由5条弧围成的一条简单闭曲线。根据约当定理，该闭路径将平面划分成两个部分，即内部和外部，如图7所示。剩下的5条弧，可以把两条弧（1,3）和（1,4）放入闭曲线的内部，另两条弧（2,4）和（2,5）放在其外部，而最后一条弧（3,5）既不能放在内部，也不能放在外部，即无论如何不能放于平面上了，否则就与其他弧相交了。这说明网络不能通过同胚映射（弹性变换）成为平面网络，为不可平面网络。

一般的，如果网络有n个顶点，任意两个不同顶点之间有一条弧连接，则该网络称为n点完全网络，记作。如图8所示的部分完全网络图，显然它们都是可平面网络。

例2表明：完全网络:是一个不可平面网络。当时，完全网络包含了不可平面网络（子网络），则网络也一定是不可平面网络。更一般的，如果一网络包含了不可平面网络作为其子网络，则该网络一定是不可平面网络。

以上两个例子给我们展示了两个不可平面网络。这两个不可平面网络和在放置平面过程中，表现出一个共同的特点：仅有一条弧不能放置在平面上。不可平面网络和可以认为是“最小”的不可平面网络，同时也是不可平面网络的典型代表。显然，包含或Ks（子网络）的网络是不可平面的；反过来，不可平面的网络是否一定包含或呢？波兰数学家库拉托夫斯基（C.Kuratowski）曾用这两个网络来描述平面网络的特征，并且对以上问题给出了肯定的回答。

定理3 一个网络可平面的充分必要条件是没有同胚于与的子网络。

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