并联电阻

物理学名词

概述图所示两电阻并列连接在电路中称为并联电阻，另外由单纯的并联电阻或用电器（用电器：如，电视机，空调，电脑等）构成的电路称为并联电路。对比于第二个电路，电阻（用电器），依次连接起来的为串联电路。

定义

并联电路：并联的各支路电压相等，干路电流等于各个支路和。

表达式：电阻R1R2R3……Rn并联,电压U1=U2=……=Un干路电流：In=I1+I2+……+In由于P=UI,I=U/R，代入，并联电阻的功率比P1:P2:P3……：Pn=U1^2/R1:U2^2/R2……Un^2/Rn=1/R1:R2……1/Rn由于是纯电阻，发热比Q1:Q2……：Qn=Pn比=1/R1:R2……1/Rn。

计算方法

计算公式

1.总电流的计算

I总=I1+I2+......+In

即总电流等于通过各个电阻的电流之和

2.总电压的计算

U总=U1=U2=……=Un

并联电路各支路两端的电压相等，且等于总电压

3.总电阻值的计算

1/R总=1/R1+1/R2+……+1/Rn

即总电阻的倒数等于各分电阻的倒数之和

特别的，两电阻并联总值为：。

对于n个相等的电阻并联，公式就简化为R并=R/n

4.并联电阻值的估算（并联阻值比任何一个电阻的值都小）

（1）若并联的两电阻值之间超过四倍，则总电阻小于任一并联电阻之值。

（2）若并联的两电阻值之间小于四倍，则总电阻小于。鉴于根号不便于口算，还可证明当两电阻值之间小于三倍，则总电阻小于。

注：结论（1）（2）无论有没有四倍之间的关系结论总是成立的，只是并联电阻关系不同，估算的值精度不同。结论（2）可以利用基本不等式证明。举例：两电阻2和4，用（1）估算小于2，用（2）估算小于，或1.5。

图解法

1.方法一

若要求R1与R2的并联电阻值，可先作直角坐标系xOy，并作Y=X的直线l，在OX轴上取A点，使OA长度等于R1的阻值，在OY轴上取B点，使OB长度等于R2的阻值，连结AB与直线l相交于M点，则M点的坐标（X或Y）值即为R1与R2的并联阻值。

证明：作MD⊥OX

∵ △AOB∽△ADM

∴ AO/BO=AD/DM

因OD=DM，并设其长度为R的数值

R1/R2=(R1-R)/R

解得： R=(R1·R2)/(R1+R2)

此即R1、R2的并联电阻的阻值。

应用若需求三个电阻的并联电阻值，可先求R1、R2的并联电阻，得到D点，再在OY轴上取C点，使OC长度等于R3的值，连CD与l直线交于N点，则N点的坐标值为R1、R2、R3的并联总阻的阻值。例如，令R1=4Ω，R2=12Ω，R3=6Ω，R1、R2的并联总阻为3Ω，R1、R2、R3的并联总阻为2Ω。

2.方法二

在平面上任取一点O，用相互交角为120°的三矢量作为坐标轴OX、OY、OZ（每轴均可向负向延伸），若要求R1、R2的并联电阻，只要在OX轴上取OA长等于R1的值，在OY轴上取OB长等于R2值，连结AB，交OZ轴（负向）于C点，则OC长度（绝对值）即为所求并联电阻阻值。

证明

面积S△AOB=S△AOC+S△BOC

即 (1/2)AO×BO×Sin120°

=(1/2)AO×OC×sin60°+(1/2)BO×OC×sin60°AO×BO =AO×OC+BO×OCR1R2=R1R+R2R

∴ R=R1R2/(R1+R2)

应用可方便地连续求解多个电阻的并联值。例如，若要求R1、R2、R3的并联总阻的阻值，只需先求出R1、R2并联后的阻值R12（即得到C点），再在OA的负向取一点D，快OD长等于R3的值，连结CD交OY轴于E点，则OE长即为R1、R2、R3的并联总阻的阻值。如R1=4Ω，R2=12Ω，R3=6Ω，按此法可求出R12=3Ω；R1、R2、R3三电阻并联电阻值为2Ω。

以上求解方法对于求电容器串联、弹簧串联，凸透镜成象等与电阻并联有相似计算公式的问题，同样适用。

数学方法

因为在并联电路中干路电流等于各个支路电流之和I总=I1+I2+I3+I4+.........+In，干路电压等于各用电器电压

U总=U1=U2=……=Un

I总=U/R

1/R=I总/U

I1=U/R1

1/R1=I1/U

In=U/Rn

1/Rn=In/U

所以1/R1+1/R2+1/R3+........1/Rn=I1+I2I3+I4+.........+In/U=I总/U

所以1/R总=1/R1+1/R2+1/R3+......+1/Rn