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幺正算符

特殊的算符

幺正算符是一种特殊的算符。在函数分析中，幺正算符作为一个数学分支，是希尔伯特空间上保留内积的一个有界运算符。 幺正算符通常被视为在希尔伯特空间上运行，但同样的概念用于定义希尔伯特空间之间的同构概念。

简介
幺正算符是一种特殊的算符。在函数分析中，幺正算符作为一个数学分支，是希尔伯特空间上保留内积的一个有界运算符。 幺正算符通常被视为在希尔伯特空间上运行，但同样的概念用于定义希尔伯特空间之间的同构概念。
单一元素是幺正算符的概括。 在代数中，如果U*U=UU* =I，则代数元素U称为单位元素（unitary element），其中I是个体算符。
定义
定义1
幺正算符是希尔伯特空间H上的有界线性运算符U：H→H，满足U*U =UU*=I，其中U*是U的伴随矩阵，I：H→H是个体算符。
较弱的条件U*U=I定义了一个等距。 另一个条件，UU* =I，定义了一个对偶。 因此，幺正算符是一个有界线性运算符，它既是等距法也是同位素法，或者也可以看成是一种等值法。
一个等同的定义如下：
定义2
幺正算符是希尔伯特空间H上的有界线性运算符U：H→H，其中：
（1）U是满射的；
（2）U保留希尔伯特空间的内积H。换句话说，对于H中的所有向量x和y，我们有：
如果在此定义中允许域和范围不同，则会捕获希尔伯特空间类别中同构的概念。 等比例保留柯西序列，因此保留了希尔伯特空间的完整性。
以下，似乎较弱的定义也是等同的：
定义3
幺正算符是希尔伯特空间H上的有界线性运算符U：H→H，其中：
（1）U在H中是密集的；
（2）U保留希尔伯特空间的内积，H。
定义1和3是等价的，注意U保留内积意味着U是等距（因此，有界线性运算符）。U具有密集范围的事实确保它具有有界的逆U-1。 很明显，U-1 = U*。
因此，幺正算符只是希尔伯特空间的自相似性，即它们保留了它们作用的空间的结构（在这种情况下，线性空间结构，内积，因此拓扑）。 有时由Hilb（H）或U（H）表示，给定希尔伯特空间H的所有单位运算符组本身被称为H的希尔伯特组。
举例
（1）个体函数是一个幺正算符。
（2）R2中的旋转是幺正算符的最简单的凡示例。旋转不改变矢量的长度或两个矢量之间的角度。这个例子可以扩展到R3。
（3）在复数的向量空间C上乘以绝对值数1，即θ∈R的形式eiθ的数量是一个整数运算符。 θ被称为相位，并且该乘法被称为乘以相位。注意，θ模2π的值不影响乘法的结果，因此C上的独立的单一运算符被一个圆参数化。相应的组，作为一组，是圆，称为U（1）。
（4）更一般来说，单一矩阵正是在有限维希尔伯特空间上的统一运算符，因此幺正算符的概念是对单一矩阵概念的概括。正交矩阵是所有条目都是真实的酉矩阵的特殊情况。
（5）由整数索引的序列空间l2的双向移位是一体的。一般来说，希尔伯特（Hilbert）空间中的任何操作者都是以正交为基础进行洗牌而行事的。在有限维度情况下，这些运算符是置换矩阵。
（6）单向移位（右移）是一个等值线；它的共轭（左移）是一个对偶。
（7）傅立叶运算符是一个整数运算符，即执行傅里叶变换（适当归一化）的运算符。
线性
可以在不改变含义的情况下删除幺正算符的定义中的线性要求，因为它可以从标量积的线性和正定性得出：
也可以得到，
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