广义协调元

基于势能原理的位移元

广义协调元（eneralized conforming element），是由清华大学龙驭球与辛克贵在20世界80年代首创的，是有限元领域中一大突破。广义协调元是一种基于势能原理的位移元。其基本特点是：对于粗网格，在平均位移的意义上保证单元间的位移协调，当网格无限细分时，即能保证单元间的位移协调。与常规位移元的不同之处是用单元公共边处的平均位移协调条件来代替常规位移元的点协调条件。是介于协调元与非协调元之间的一种单元。它既保留了非协调元自由度少、精度高的优点，又捎除了非协调元有时不能收敛的缺点。

简介

广义协调元，是由清华大学龙驭球与辛克贵在20世界80年代首创的，是有限元领域中一大突破。广义协调元的优点是：自由度少，精度高，程序简便，在任意网格划分下通过分片检验，收敛于精确解。它为薄板弯曲和其它要求C1连续性问题提供一个简单高效和可靠的单元。

广义协调元于1987年提出，历经了二十年的发展。当中先后在龙驭球院士的指引下，龙志飞、须寅、岑松等学者又对广义协调元进行了完善和发展，形成了新型有限元体系。

理论基础

广义协调元是在传统的协调元与非协调元之间另辟一条新路。它是一种保证收敛的极限协调元。与它相应的变分原理具有二重性，以分区势能原理作为出发点，以势能原理作为归宿。它的方法特点是能量法与加权残值法的结合。

领域开拓

广义协调法首先在薄板元方面形成5个系列，提出25种新型薄板元，然后在厚板元、等参元、含转角自由度的膜元、薄壳元、Ferguson曲面法元、P型元、稳定，振动、几何非线性、广义面积坐标法等十个领域加以移植，开拓应用领域。

主创人员

[创始人]：龙驭球、辛克贵；

[完善发展]：龙志飞、须寅、岑松等；

内容

基于最小势能原理的位移协调元应用最广，方法和程序最为简便，但在薄板弯曲等C1类问题中遇到麻烦，由此引起了巨大兴趣，产生了多种有限元新模型。

Irons等认为单元间位移完全协调的要求是太苛刻了。实际上，只需单元能够通过“分片检验”，位移非协调元也可采用，并收敛于正确解。Adini,Clough,Melosh提出一个矩形薄板非协调元(记为ACM元)，效果良好。也有文献提出一个三角形薄板非协调元(记为BCIZ元)，对于某种网格，其精度比某些协调元还要好些，可惜对于另种网格却不能通过分片检验，不能收敛于正确解。

对于薄板弯曲问题还出现不少好的有限元模型，如杂交应力元，离散法线元和拟协调元。

提出一种基于势能原理的广义协调元。对于粗网格，在平均位移的意义上能保证单元间的位移协调。当网格无限细分时，即能保证单元间的位移协调。

广义协调位移元的作法与位移元常规作法只有微小的差别。以薄板为例，位移元常规作法包含如下步骤：

第一步：选取单元的结点位移向量{q}。单元内的挠度场ω设为多项式：

其中，{λ}为多项式的待定系数。

第二步：建立{q}与{λ}之间的关系。令相邻单元在公共结点处的结点位移相等（都等于{q}），即得{λ}与{q}的关系式如下：

第三步：根据曲率{n}与挠度ω的微分关系，{n}可用{q}表示为

因而单元刚度矩阵[K]e为

这里[D]为薄板的弹性系数矩阵。

在广义协调元的作法中，第一步与第三步同前，只是第二步不同。这里我们应用相邻单元在公共边处的平均位移相等这类广义协调条件来建立{q}与{λ}的关系：

这里{d}是广义位移（主要是单元各边的平均位移）。

由此看出，广义协调元与常规位移元在作法上的唯一区别在于用式（2）代替式（1）。换句话说式(1)是着眼于满足相邻单元在公共结点处的点协调，因而很难同时满足在公共边处的边协调；式(2)不是着眼于满足点协调，而是直接着眼于满足公共边处的平均位移协调。因此广义协调元的要点是用平均位移的边协调来替代常规位移法中的点协调。

广义协调元保留了非协调元的优点(自由度少，程序简便)，消去了非协调元的缺点(非协调元不一定能通过分片验检，而广义协调元定能通过分片检验，保证收敛)。

建立广义协调元的一个重要问题是合理选择广义协调条件，使[C]和[G]为可逆矩阵。

特点

广义协调元为薄板弯曲和其他要求C1连续性向题提供一个简便、高效和可靠的单元。

1.简便——在变分原理方面，以熟知的势能驻值原理为基础，而不是基于广义变分原理，因而无需处理“多种变量的合理匹配”以及“零能变形模式”等复杂问题。在推导方法方面，与常规位移型单元基本相同，唯一的区别只是用平均位移的边协调来替代常规的点协调。在程序实施方面也很简便，可以沿用常规位移型单元的程序，只需作少量修改。

2.高效——在薄板弯曲和稳定分析中，以最少的自由度，低阶的位移模式，即可得到高精度的结果。它是薄板弯曲和稳定分析最有效的单元之一。

3.可靠——当网格细分时，单元间的位移连续性能够得到实现。此单元对于不规则网格能通过分片检验，收敛性得到保证，对单元形状不敏感。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省