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广群

数学术语

在数学中，特别是在范畴论和同伦论中，一个广群（较不常见的是勃兰特广群或虚拟广群）以几种等效的方式推广了广群的概念。 广群是对群的概念的抽象化。可以看作是：

定义
每个态射都可逆的范畴为广群。
简介
在数学中，特别是在范畴论和同伦论中，一个广群（较不常见的是勃兰特广群或虚拟广群）以几种等效的方式推广了广群的概念。广群是对群的概念的抽象化。可以看作是：
具有替代二进制的部分功能的组；每个度都是可逆的范畴。 这种范畴可以被看作是增加一个一元的操作，通过类比与组理论相反。注意，只有一个对象物体的广群是普通组。
特殊情况包括：
集群，即：具有等价关系的集合；
G集，配备G组集。
广群通常用于推理几何对象，如多面体。 海因里希·布兰特（Heinrich Brandt，1927）通过勃兰特半群隐含地介绍了广群。
代数定义
广群是由非空集合G和在G上定义的二进制部分函数“ ”组成的代数结构（G， ）。
代数
广群是一个集合G，具有一元操作 和部分函数 。 这里 不是一个二进制的操作，因为它不一定被定义为所有可能的G元素对。 在这里定义的精确条件在这里没有阐述，并因情况而异。
和-1具有以下公理属性。 让a，b和c是G的元素。然后：
（1）关联性：如果定义了a b和b c，则（a b） c和a （b c）也被定义。 相反，如果这两个最后两个表达式中的任何一个被定义，那么另一个表达式也是如此。
（2）反向：a-1 a和a a-1始终被定义。
（3）如果定义了 b，则a b b-1 = a和a-1 a b = b。 （前两个公理已经表明这些表达式是定义和明确的。）
从这些公理，两个简单方便的属性如下：
（a-1）-1 = a;
如果a b被定义，则（a b）-1 = b-1 a-1。
范畴论
广群是一个小范畴，其中每个态射是同构的，即可逆的。更准确地说，一个广群G是：
（1）一组G0的对象；
（2）对于G0中的每个对象x和y，从x到y存在一个（可能是空的）集合G（x，y）的态射（或箭头）。 我们写f：x→y表示f是G（x，y）的元素。
（3）对于每个对象x，G（x，x）的指定元idx。
（4）对于对象x，y和z的每个三元组，函数 ： 。
（5）对于每对物体x，ya函数 ：
满足，对于任何f：x→y，g：y→z和h：z→w：
和
和
如果f是G（x，y）的元素，则x被称为f的源，写入s（f），y被称为f（写入t（f））的目标。
比较定义
代数和范畴论定义是相同的。 给定范畴论中的群体，令G是所有集合G（x，y）（即从x到y的态射集合）的不相交并集。
然后comp和inv在G上成为部分定义的操作，inv实际上将被定义在任何地方; 所以我们定义 为comp和-1为inv。 因此，我们有一个代数意义上的群体。 可以删除对G0的明确引用。
相反，给定代数意义上的群G，令G0是x x-1形式的所有元素的集合，其中x通过G变化并定义
作为所有元素的集合f这样
存在。考虑
和
他们的复合体被定义为
看到这是很明确的，因为
和
存在，也是如此
x x-1上的身份态射就是xx-1本身，f的类别理论反向是f-1。上面定义中的集合可以被类替换，类别理论通常是这样。
顶点组
给定一个群体G，G中的顶点组或各向同性组或对象组是G（x，x）形式的子集，其中x是G的任何对象。从上面的公理可以很容易地看出，这些确实是组， 因为每对元素都是可组合的，并且反转在同一个顶点组中。
举例
线性代数
给定一个字段K，相应的一般线性组GL *（K）由任何大小的所有可逆矩阵组成，其条目范围超过K.矩阵乘法解释组合。 如果G = GL *（K），则自然数集合是G0的子集，因为对于每个自然数n，存在维度n的相应单位矩阵。 除非m = n，否则G（m，n）为空，在这种情况下，它是所有nxn可逆矩阵的集合。
拓扑
给定拓扑空间X，令G0为集合X.从点p到点q的态射是从p到q的连续路径的等价类，如果它们是同位素，则两条路径是等效的。 两个这样的态射是由第一个路径组成的，然后是第二个路径；同伦对等性保证这个组合是相关的。 这个群体称为X的基本群体，表示为。 通常的基本组则是点x的顶点组。
这个想法的一个重要的拓扑是考虑基本的广群，其中A是一组“基点”和X的子集。 只考虑其端点属于A的路径。是子类。 集合A可以根据几何形状的情况来选择。
等价关系
如果X是由表示的等价关系的集合，则可以形成“表示”等价关系的组类型如下：
（1）群体的对象是X的元素；
（2）对于X中的任何两个元素x和y，当且仅当x〜y时，存在从x到y的单个态射。
李群和李代数
在研究几何物体时，出现的群体通常带有一些可微分的结构，将它们变成李群。 这些可以用李代数来研究，类似于李群和李代数之间的关系。
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