库仑土压力理论

1773年库仑提出的方法

库仑土压力理论是由库仑在1773年提出的计算土压力方法。库仑土压力理论是根据墙后土体处于极限平衡状态时的力系平衡条件，并形成一滑动体楔体时，从楔体的静态平衡条件得出的土压力计算理论。

基本假设

库仑土压力理论是根据墙后土体处于极限平衡状态时的力系平衡条件，并且形成一滑动体楔体时，从楔体的静态平衡条件得出的土压力计算理论。其基本假设是：1.墙后的填土是理想的散粒体（粘聚力c=0）；2.滑动破坏面为一平面。

主动土压力

一般挡土墙的运算属于平面应变问题，均沿墙的长度取1m进行分析，如图1中（a）所示。当墙向前移动或转动而使墙后土体沿一破坏面破坏时，土楔ABC向下滑动而处于主动极限平衡状态。此时，作用于土楔上的力有：

1.土楔体的自重，为填土的重度，只要破坏面的位置一确定，G的大小就是已知值，其方向向下；

2.破坏面上的反力R，其大小是未知的。反力R与破坏面的法线之间的夹角等于土的内摩擦角φ，并位于的下侧；

3.墙背对土楔体的反力E，与它大小相等、方向相反的作用力就是墙背上的土压力。反力E的方向必与墙背的法线成δ角，δ角为墙背与填土之间的摩擦角，称为外摩擦角。当土楔体下滑时，墙对土楔体的阻力是向上的，故反力E必在的下侧。

土楔体在以上三力作用下处于静力平衡状态，因此必构成一闭合的力矢三角形（图1中（b）），按正弦定律可知：

E=Gsin（θ-φ）/sin（θ-φ+ψ）

式中ψ=90°-α-β，其余符号如图1所示。

土楔重：

在三角形ABC中，利用正弦定律可得

因为

故

通过A点作线的垂线，由得

由于γ、H、α、β和φ、ψ都是已知的，而滑动面与水平面的倾角θ则是任意假定的，因此，假定不同的滑动面可以得出一系列相应的土应力E值，也就是说，E是θ的函数。E的最大值即为墙背的主动土应力。其所对应的滑动面即是土楔最危险的滑动面。为求主动土应力，可用微分学中求极值的方法求E的最大值，为此可令dE/dθ=0，从而解得使E为极大值时填土的破坏角θcr，这就是真正的滑动面的倾角，将θcr代入，整理后可得库仑主动土压力的一般表达式：

式中：Ka——库仑主动土压力系数，可以根据查表或计算得出。

H——挡土墙高度，m；

γ——墙后填土重度，kN/m3；

φ——墙后填土的内摩擦角，°；

α——墙背的倾斜角，°，倾斜时取正号，斜仰为负号；

β——墙后填土面的倾角，°；

δ——土对挡土墙背的摩擦角，查表确定。

当墙背垂直、光滑、填土面水平时，库仑主动土压力表达式可写为：

所以，主动土压力强度沿墙高的平方成正比，为求得离墙顶为任意深度z处的主动土压力强度σa，可将Ea对z取导数而得，即：

由上式可见，主动土压力强度沿墙高成三角形分布（图1中（c））。主动土压力作用在离墙底H/3处，作用线方向与墙背法线的夹角为δ。必须注意，在图1中（c）中所示的土压力强度分布图中只表示大小，而不代表其作用方向。

被动土压力

当墙受外力作用推向填土，直至土体沿某一破坏面破坏时，土楔ABC向上滑动，并处于被动极限平衡状态。此时土楔ABC在其自重G和反力R和E的作用平衡下，R和E的方向都分别在和面法线的上方。按上述求主动土压力同样的原理和求得被动土压力的库仑公式为：