庞加莱一本迪克松定理

数学术语

庞加莱-本迪克松定理(Poincaré-Bendixson theorem)是平面定性理论的经典成果并是后续研究的重要基础。给定系统dx/dt=X(x)，(1)，或平面系统：dx/dt=P(x,y),dy/dt=Q(x,y)，(2)，庞加莱-本迪克松定理断言：若系统(2)的一条正半轨保持在某一不含奇点的有界区域内，则它盘旋逼近于一条极限环(它在该轨线所在一侧为稳定)。设有集合A，如果对任一x∈A及一切t∈R，(1)或(2)的轨线φt(x)∈A，则称A为系统(1)或(2)的不变集。显然，ω或α极限集均为不变集。如果不存在A的不变真子集，则非空不变集A称为一个极小集。关于极小集的结构，施瓦兹(A.J.Schwarz)于1963年将上述结果推广到定义于二维流形上的C2类流，得到下述结论(亦称施瓦兹定理)：C2类流形M上的C2流的非空紧极小集必属于下列情形之一：1.一个奇点；2.一条闭轨；3.整个流形M。对维数n>2的系统，则可以有结构复杂的极限集，例如混沌集等。

基本介绍

定理

(庞加莱-本迪克松定理) 考虑上的微分方程。

(a)假设在上有定义，正半轨有界，则：(i)含有不动点或(ii)是周期轨。

(b)假设是有界闭子集且是微分方程的正不变集，假设在内有定义，但没有不动点，则对任意的，轨线：(i)是周期轨或(ii)趋于一个周期轨( 当时)且就是该周期轨。

注意点

注1要使平面上的连通区域A既是正不变集又不含有不动点，则它必是含有一个“洞”的环域，这样它就有两条边界，每一边界都是闭曲线(不必是圆)。

注2为使环域A成为正不变集，只需系统的向量场在边界上指向环域内部。

注3对上述定理可做适当的变动，即环域A是负不变集，边界上的轨线都进入A的外部。

证明思路

这里叙述证明的关键思路，证明需要利用流关于初始值的连续性。

轨线正向位于A内，势必不断地接近于某点z，即存在时间序列使得。这种思想就是数学中的紧性，类似于有界递增点列一定收敛，于是中的有界点列必须趋近于某点。点z不是不动点，其附近的轨线大致有相同的走向。设为过点z的截线，使得附近其他轨线同向穿过S，则对于充分大的n，总可以调节使得。取一段轨线

以及S上与之间的线段，它们构成一条闭曲线，该闭曲线将分成两部分(参见图1)。从出发的轨线要么进入的外部，要么进入的内部；而从上任一点出发的轨线具有相同的性态。因此当时不可能重新进入其他区域，这意味着轨线与S的交点呈现单调性，它们必从一侧收敛于z。进一步分析表明，如果z不是周期的，则附近的轨线不可能返回，故z必须是周期的。

由上述证明可在收敛于周期轨方面获得更多的认识，实际上，若一条轨线在极限环的一侧聚集，则庞加莱映射在该侧是单调且吸引的。这说明极限环该侧附近的轨线的极限集就是该极限环，极限环在该侧是轨道渐近稳定的。如果周期轨两侧的轨线的极限集都是该周期轨，则该周期轨就是(两侧)轨道渐近稳定的，即有下述推论。

推论

推论考虑上的微分方程，假设为孤立的周期轨。

(a) 假设且以为其极限集，即，则对于充分靠近且与p位于同侧的点q，有，即为单侧轨道渐近稳定的；

(b) 假设，位于的不同侧，且，则是轨道渐近稳定的(双侧)。

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