庞加莱定理

热力学定理

在一个封闭系统中，任何粒子在经过一个漫长的时间之后必然能无限接近其初始位置（但是不能回到原来位置，只能无限接近），尽管这个时间的长度远远超出我们所能想，但是它必然会实现。这样一个周期就称为一个庞加莱回归。

发现过程

自然界的微观粒子无时不刻不在进行着随机运动，并在运动中消耗能量。根据热力学第二法则，孤立系统的熵恒增加。Rudolph Clausius（克劳修斯）认为任何系统都是由有序向无序发展，粒子的运动也将趋于复杂。随着时间的流逝，宇宙将会走向热寂。

1871年，James Clerk Maxwell首先对热力学第二法则导出的“热寂理论（热寂论）”发起诘难。

在James Clerk Maxwell之后更有科学家对热力学第二法则本身产生质疑，但是却苦于找不出熵恒增（熵恒增定律）的破绽。1895年。Jules Henri Poincaré（庞加莱）历史性地证明了庞加莱回归。

证明

庞加莱回归定理是庞加莱在遍历理论的第一个定理。他研究了下列方程：

由此导致他证明了下述庞加莱回归定理:设T为概率空间(X,.},川上的保测变换可分度量空间卜了为其波莱尔。代数时，则({xw(x)})=0，即几乎所有点都是回归的。

词语解释

论述力学体系运动可复性的定理。1872年L.玻耳兹曼在他的《气体理论》一文中证明了一个重要的定理──H定理。H定理断定：一个处于非平衡态的系统总是要单调地趋向平衡；而一个已经达到平衡的系统再自动地趋向非平衡是不可能的。那么,自然会提出这样的问题:平衡系统自动趋向非平衡是否完全不可能？如果不是完全不可能的，其可能性有多大？1896年E.策尔梅洛就根据J.-H.庞加莱定理研究了运动的可复性问题。

1890年庞加莱证明了下述定理:系统的Γ相空间（见相宇）中除了一个测度为零的点集以外,在t=0时使系统从相空间中任何一有界点P出发,则对于任意给定的一个小距离ε>0，都存在一个有限的时间t(ε)，在这时间间隔内，系统必经过相空间的一点P‵，而。

由此定理可以看出运动的可复性。因为从中可以得到结论：放在封闭容器内的任何一个力学体系经过足够长的时间后，总要回复到任意接近初始状态的那个状态上。由此可见，当H函数随时间单调地减少以后,只要经过足够长的时间，它将回复到初始的数值。这个结论似乎同宏观不可逆性相抵触，同玻耳兹曼H定理相矛盾。

玻耳兹曼对上述矛盾作了明确的回答:H定理具有统计的性质，它只是说非平衡态总以绝对优势的几率趋向平衡态，没有完全否定由平衡态趋向非平衡态的可能性，并不完全排斥H的值偶然增加，运动回复到原状,只是几率极其微小，因此反映统计规律的宏观不可逆性同微观可逆性并不矛盾。庞加莱定理虽然说明力学系统经过充分长的时间后总可以回复到初始状态附近，但是，根据庞加莱的证明，对于一般的气体或液体，若单位体积含有的粒子数为10^23的数量级,那么回复时间的数量级约为秒,它比迄今知道的宇宙寿命还要大很多的数量级，比趋向平衡的时间大得简直不可估量，它对所有宏观物体来说，实际上可以看作是无穷大。于是得出结论：从熵小的状态走向熵大的状态几乎是必然的；而从熵大的状态走向熵小的状态几乎是不可能的。玻耳兹曼 H定理和庞加莱定理可以相容。

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