开普勒第二定律

开普勒三定律之一

开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。

定律定义

约翰内斯·开普勒在《新天文学》中的原始表述：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

表述为：中心天体与环绕天体的连线（称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。即：

其中rm为从中心天体的质心引向行星m的位置矢量，vm是行星m的速度，为行星速度v与矢径r之间的夹角，为m绕质心的旋转角度。

公式推导

对于二体问题，如图1所示，记二天体质量分别为m1、m2，二体间的距离为r，二体到原点的位置向量依次记为r1，r2。则，二体间的引力作用为：

对上式相减，记化简方程为：

两侧同时，由于，得。

对其积分，可得：，即。

对于其中单独的一个天体m2，有

在dt时间内m2物体扫过的面积元为：

对上式进行积分即可得到证明。

对于m2的角速度为：

由一式可以看出，这一定律实质为有心力场下二体问题的角动量守恒。

定律分析

适用范围

开普勒定律适用于有心力场下的二体问题。

局限性

对于处在较大引力场中的行星，如水星，会出现近日点进动的现象，此时开普勒第二定律需要用广义相对论加以修正。具体为：

1915年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日点进动为：

其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，e为轨道偏心率，T为公转周期。对于水星，计算出ε=43″/百年。

定律说明

1、开普勒第二定律不只适用于引力环境下，对一切的有心力场二体问题都适用。

2、中的常数值对于不同的天体系统一般不同；对于不同的天体，的值一般不同。

3、在二体问题中，两个天体环绕共同的质心运动。若将其中一个天体视为静止时，可以使用约化质量。

对于m2物体，对其采用约化质量简化前后的其面积速度之比为

4、由该定律可以发现，地球等行星在近日点速度快，远日点速度慢

进一步分析

记，

参考开普勒第一定律的证明,对于椭圆轨道，有其运动方程为

参考椭圆的极坐标方程，可以求得

发展简史

丹麦天文学家第谷·布拉赫死后，留下20多年的观测资料和一份精密星表。第谷提出了一种介于地心说和日心说之间的学说，在17世纪传入我国，并产生重大影响。在没有天文望远镜的情况下，第谷对天体方位进行了几十年的观测，凭借着惊人的毅力和耐心，积累了大量的精确材料，开普勒的发现，就是通过归纳分析这些材料得出的。

开普勒认为通过对第谷的记录做仔细的数学分析可以确定哪个行星运动学说正确的：哥白尼日心说，古老的托勒密地心说，或者是第谷本人提出的第三种学说。但是经过多年仔细的计算和研究，他发现这三种学说与第谷的星表和观测数据都不符合。

约翰内斯·开普勒在无法用已有的行星运动理论解释第谷的观测资料的情况下，果断放弃了行星作匀速圆周运动的观念，并试图用别的几何图形来解释，经过四年的苦思冥想，也就是到了1609年他发现椭圆形完全适合这里的要求，能做出同样准确的解释，于是得出了“开普勒第一定律”：火星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳处于两焦点之一的位置。

当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。后来他发现，火星运行速度是不匀的，当它离太阳较近时运动得较快(近日点),离太阳远时运动得较慢(远日点)。

开普勒发现该问题后，经过精准刻苦的计算，他发现：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

这两条定律刊布在1609年出版的《新天文学》(又名《论火星的运动》)中，该书还指出两定律同样适用于其他行星和月球的运动。

应用领域

开普勒第二定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。有效解决了对于天体运动规律的解释。在研究天体的运动中，利用牛顿的力学和开普勒三大定律的有效结合，可以预测天体的运行轨道、运动速度、旋转周期，从而能够预测某一时刻到天体在空间中的位置，能够应用到天体探测、卫星发射等领域。

定律影响

开普勒定律一经确立，本轮系彻底垮台，天体运动不再无规律可循，开普勒定律成了天空世界的“法律”。后世学者尊称开普勒为“天空立法者”。

首先，开普勒定律在科学思想上既有重要影响。其表现出的无比勇敢的创造精神和质疑精神激励着后来的学者们勇于创新，勇于质疑。

其次，开普勒第二定律和开普勒第一定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

第三，包括开普勒第二定律在内的开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的、可以计算的系统。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。

第四，开普勒第二定律有力的证明了日心说，进一步推翻了神创论，弘扬了科学精神，推动了时代发展。为后来牛顿万有引力的提出奠定了基础，提供了有力论据。

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