开集

拓扑学里最基本的概念

开集，是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。

定义

假设X是一个集合，如果存在一系列X的子集合满足下面的条件，那么每个这样的子集就称为X的一个开集，X称为拓扑空间。

（1）空集和X为开集；

（2）有限多个开集之交为开集（无穷多个开集的交集未必是开集）；

（3）任意多个开集之并为开集。

度量空间中的开集

定义

设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，即A中每个点都是A的内点，则称A是度量空间X中的一个开集。用集合的语言来说就是：

对任意x∈A，存在δ>0，使得B(x,δ)⊆A。

还可以从另一个角度来定义开集，就是如果一个集合不含边界点（或没有边界点），这个集合就叫开集。即如果A∩∂A=∅，那么A是开集。

可以证明这两个定义是等价的。

证明

若A中每个点都是内点，则显然这些点都不是边界点，因此A∩∂A=∅。反之，如果A∩∂A=∅，则要么A是空集，要么∂A是空集，要么A中的点都不是边界点。当A是空集时，根据规定，空集为开集，因此A是开集。当∂A是空集时，X中的点要么是A的内点，要么是A的外点。而显然，所有外点都不属于A，所以A中的点都是A的内点，即A是开集。当A中的点都不是边界点时，因为所有外点都不属于A，所以属于A的当然就剩下内点了，即A是开集。

闭集

闭集有一种定义类似于开集的另一定义。若一个集合的边界点包含于该集合，即∂A⊆A，那么称A是一个闭集。当然闭集还有其他定义，具体可以参考相关词条。

特殊开集——拓扑

定义

赋予实数空间R绝对值度量，对应的开集称为通常拓扑。

性质

（1）邻域是开集。

所谓以p为中心，r为半径的邻域B(p,r)，指的是满足|p-q|

设q是邻域B(p,r)中的任意一点，d是p和q之间的距离，那么0≤d0。设h=r-d>0，于是可以取邻域B(q,h)，在这个邻域上的任意一点s与q之间的距离|q-s|三角不等式，

即s∈B(p,r)。

因为s是邻域B(q,h)中的任意一点，既然B(q,h)的任意一点都属于B(p,r)，可知B(q,h)⊆B(p,r)，所以q是内点。根据q的任意性可知B(p,r)上所有点都是内点，因此B(p,r)是开集。

在一维空间（即数轴上），邻域就是开区间，所以开区间是开集。

（2）A是开集当且仅当它的补集是闭集。

证明需要根据闭集的其他定义进行，这里省略。

从这条性质可以知道，因为空集是开集，所以它的补集X是闭集。因为X是开集，所以它的补集∅是闭集。即空集和X既是开集又是闭集。

（3）任意多个开集之并为开集。

设是一组开集，其中a可以是有限个也可以是无限个。又设它们的并集，那么对于E中的任意一点x，它至少属于某个Ea。因为Ea是开集，所以x是Ea的内点，从而存在δ>0，使得B(x,δ)⊆Ea⊆E，即x是E的内点。根据x的任意性可知E中任意一点都是内点，因此E是开集。

（4）有限多个开集之交为开集。

设是一组开集，i是有限的自然数。又设它们的交集，若E空，则E是开集，命题得证。若E非空，那么对于E中任意一点x，它是这n个开集的公共点，所以存在δi，i=1,2,3,…n，使得每个邻域B(x,δi)⊆Ei。取δ=min{δi}，那么邻域B(x,δ)将包含于每个Ei中，即B(x,δ)⊆E，因此x是内点。根据x的任意性可知E中任意一点都是内点，因此E是开集。

要注意的是无限个开集的交不一定是开集，如在数轴上取开区间(-1/n,1/n)，当n→∞时，这无数个开区间的交集为{0}，而只有一个点的集合一定是闭集。

（5）A的内点所构成的集合（称为A的内部，用符号A°或int(A)来表示）是包含在A中的最大开集，换言之，A的内部是开的，而且对于任意一个开集E⊆A，都有E⊆A°。

根据A°的定义很快知道A°是开集，现证明A°是A中的最大开集。

假设存在某个开集E⊆A，它比A°大，那么必然有一些点x满足x∈E但x∉A°。且因为E是开集，x是E的内点。而根据性质（3），因为A=E∪A，x也是A的内点，所以x∈A°，矛盾。

（6）开集与闭集的差集仍是开集。

设X是一个全集，E和F是X的子集。所谓集合E与F的差集，指的是X中所有满足x∈E而x∉F的点x构成的集合。

设F在X中的补集为Fc，如果x∉F，那么x∈Fc，所以E-F=E∩Fc。若E是开集，F是闭集，根据性质（2），Fc是开集。再根据性质（4），E∩Fc=E-F是开集。

注意，开集与开集的差集可能是开集，也可能是闭集，还可能是非开非闭集。如：

直线上的开区间(0,1)与开区间(2,3)都是开集，它们的差集为(0,1)仍是开集。

直线上的开区间(0,100)与(0,1)∪(99,100)都是开集，它们的差集为[1,99]是闭集。

直线上的开区间(0,100)与(0,99)都是开集，它们的差集为[99,100)是非开非闭集。

几种重要的平面点集

1) 开集：若点集的点都是的内点，则称为开集．例如是开集．

2) 闭集：若点集的余集为开集，则称为闭集．例如是闭集．应当指出的是：既非开集亦非闭集．

3) 连通集：若点集E内的任意两个点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称为连通集．

4) 区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域．

5) 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的集合叫闭区域．例如是区域，而是闭区域．

6) 有界集：对于平面点集，若存在一个正数使 ,其中O是坐标原点，则称为有界集．

7)无界集：一个集合若不是有界集，则称为无界集．例如为有界闭区域，为无界闭区域；为无界开区域．

注：应该注意到闭区域虽然包含有边界，但它也有可能是无界的；开区域是不含有边界的，但它也可能为有界域．

应用——开集人脸识别

针对传统ASM对面部轮廓点定位不够理想的问题,本文提出了一种局部轮廓约束的主动形状模型(Local Profile Constraint ASM)。该模型对传统ASM有两个方面的改进:其一,将候选点的轮廓强度作为自调节权重加入ASM的局部纹理匹配函数,使最佳匹配点更易被吸引到面部轮廓上。其二,引入全变分模型(TVM)作为图像实施标定前的预处理,在保留足够用于标定的纹理信息前提下,增强轮廓点与其一维邻域点的轮廓强度对比。在BioID人脸库上的大规模测试结果表明,该方法有效地提高了轮廓点的定位精度,为后续的特征比对打下良好的配准基础。 3.研究了特征比对中的开集识别问题,提出基于Adaboost的开集人脸识别算法。人脸图像识别系统中,特征比对算法直接影响到识别系统性能,是识别算法最核心的问题。本文针对特征比对算法中的开集问题,即有拒识的识别问题,提出一种新颖的解决方案。利用样本的几何变换,减小正负样本相似度之间的重叠区域,扩大正负样本集间距离,进而对一般的基于Adaboost的闭集人脸识别方法作出改进。同时,使用两层识别结构和样本变换预处理策略,提高识别速度。

提出了一种对相似度空间进行寻优的新方法,以提高开集人脸识别的准确率.该方法首先将开集识别问题转化为二分类问题,然后引入寻优方法寻找分割相似度空间的最优超平面,该超平面能够将相似度空间分割为接受空间和拒绝空间两部分.在判别过程中,利用相似度向量在空间中的位置判断样本是否为已知类.由于利用了相似度空间中向量分布的信息,训练出的特征具有更强的分类能力.通过不同人脸库的实验表明,相对于传统的方法,本文所提的方法能显著地提高开集识别的准确率.

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