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弓高

数学术语

弓高是指组成弓形的弧的中点到组成弓形的弦的垂线段。（注意：弓高是指一条“垂线段”而不是这条垂线段的长）

定义
弓高是指组成弓形的弧的中点到组成弓形的弦的垂线段。
性质
一、唯一性：弓形只有一条唯一确定的弓高。
证明：根据弓高的定义，因为弧有唯一确定的中点，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故从弧的中点引弦的垂线段也是唯一确定的。
二、弓高是组成弓形的弧上所有点到弦的垂线段中最长的。
证明：设弓形AB，弧AB上一动点P，及弦∠APB为定值α，△ABP的面积为S，底边AB上的高为PH。
由正弦定理得： ，又
∴ ，其中 α和AB长为定值，即 。
由弦长定理（弦长积定理）得，当PA=PB时， 达到最大值,即当P为弧AB的中点时,PH达到最大值。
根据弓高的定义可知，此时PH即为弓高。故原命题得证。
三、弓高所在的直线经过弓形所在的圆的圆心。
证明：如图1，MH是弓形AB的弓高。连结MA,MB。
∵M是弧AB的中点，
∴弧AM=弧BM，
∴AM=BM，
∵MH⊥AB，
∴AH=BH，
由垂径定理的逆定理可得：
直线MH经过弓形AB所在圆的圆心。
四、优弧弓的弓高大于弓形所在圆的半径，劣弧弓的弓高小于弓形所在圆的半径，半圆弓的弓高等于弓形所在圆的半径。
长度计算公式
【公式一】在弓形中，设弓形所在圆的半径为 ，组成弓形的弦长为 ，组成弓形的弦的弦心距为 ，
则有： ，且弓高 （当弓形为优弧弓时）或 （当弓形为劣弧弓时）。
当然，若弓形为半圆弓，直接可得
推导：同上述题设，如图2弓形中，设⊙O的半径为r，AB=a，MH=h。
延长MH，由弓高的性质三可得MH过圆心O，连结OA。
由垂径定理得 ，
由勾股定理得：
由弓高的性质四可以得到高 （当弓形为优弧弓时）或 （当弓形为劣弧弓时）。
【公式二】若已知弓形的弧所对圆心角为θ，则：
再根据情况运用公式计算即可。
（或已知弧所对圆周角也可直接用圆周角的余弦值和正切值计算）
应用
可用与实际问题当中。
一、在排水管中，已知排水管的规格，可以将排水管中的水拟作弓形，利用水深、水位线长（即弓形的弦长）等计算一些数据（如弓高、水流量、流速），以更好地进行运水输水排水等的管理。
二、有些桥梁或大门的形状为拱形，且为其中特殊的一种——弓形。此时可以根据弓形的性质和弓高的计算方法测量计算桥梁、大门等的一些数据。
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