弦图

几何图形

弦图，在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种。

发明人简介

赵爽，籍贯、生卒年不详。又名婴，字君卿。中国古代数学家、天文学家。三国时吴国人，一说魏晋人，或汉人，约生活于公元3世纪初。他研究过张衡的天文数学著作和刘洪的《乾象历》，也提到过《九章算术》。

他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”

公式

如图，2ab+(b-a)2=c2，化简便得a2+b2=c2。其基本思想是图形经过割补后，面积不变。刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基础。

赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。例如 √[2(c-a)(c-b)] + (c-b) = a， √[2(c-a)(c-b)] + (c-a) = b， √[2(c-a)(c-b)] + (c-a) + (c-b) = c等等。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。

由来

赵爽自称负薪余日，研究《周髀》，遂为之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天算学家。一般认为，《周髀算经》成书于公元前100年前后，是一部引用分数运算及勾股定理等数学方法阐述盖天说的天文学著作。而大约同时成书的《九章算术》则明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题。赵爽《周髀算经注》逐段解释《周髀》经文。而最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图，短短500余字，概括了《周髀算经》、《九章算术》《九章算术》以来中国人关于勾股算术的成就，其中包含了勾股定理勾股定理(这里以a，b，c分别代表直角三角形的勾、股、弦三边之长)a^2+b^2=C^2及其变形b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)，a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)，c2=2ab+(b-a)2；有通过开带从平方a2+(b-a)a=1/2[c2-(b-a)]2求勾a，开平方a=[c2-(c2-a2)]^1/2求勾a，开带从平方(c-a)2+2a(c-a)=c2-a2求勾弦差c-a的方法，以及c=(c-a)+a，c+a=b2/(c-1), c-a=b2/(c+a), c=[(c-a)2+b2]/2(c+a), a=[(c+a)2b]2/2(c+a)等公式，与上述公式对称，也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式，又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b), b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a),c=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)以及勾股差b—a与勾股并b+a的关系式(a+b)2=2c2—(b-a)2，a+b=[2c2-(b-a)2]^1/2, b-a=[2c2-(b+a)2]^1/2,进而由此给出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)]，最后给出了由弦与勾（或股）表示的股(或勾)弦并与股(或勾)弦差之差：

(c+b)-(c-b)=[(2c)2-4a2]^1/2

(c+a)-(c-a)=[(2c)2-4b2]^1/2

赵爽用出入相补方法对上述公式作了证明。这些公式大都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同，证明方法也类似，只是最后两个公式为刘徽注所没有，所用术语也与刘徽稍异。可见，这些知识是汉魏时期数学家们的共识。《畴人传》说勾股圆方图注“五百余言耳，而后人数千言所不能详者，皆包蕴无遗，精深简括，诚算氏之最也”。

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